Номер 45, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 45, страница 157.

Условие.

16.45. Основанием призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$), боковые грани призмы – квадраты. Найдите угол между прямыми $AC_1$ и $CB_1$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $C$. Направим ось $Ox$ вдоль катета $CA$, ось $Oy$ — вдоль катета $CB$, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $CC_1$.

Согласно условию, основанием призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Это означает, что катеты $AC$ и $BC$ равны. Пусть их длина равна $a$, то есть $AC = BC = a$.

Также по условию боковые грани призмы являются квадратами. В частности, грань $ACC_1A_1$ является квадратом, из чего следует, что высота призмы $CC_1$ равна стороне основания $AC$. Таким образом, высота призмы $h = CC_1 = AC = a$. Это означает, что призма является прямой.

Определим координаты вершин, которые необходимы для нахождения угла между искомыми прямыми $AC_1$ и $CB_1$:

• $C(0, 0, 0)$ — начало координат.
• $A(a, 0, 0)$ — точка на оси $Ox$.
• $B(0, a, 0)$ — точка на оси $Oy$.
• $C_1(0, 0, a)$ — точка на оси $Oz$.
• $B_1(0, a, a)$ — координаты точки $B_1$ получаются смещением точки $B$ на вектор высоты $\vec{CC_1} = (0, 0, a)$.

Угол между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $CB_1$ равен углу между их направляющими векторами. Найдем координаты этих векторов: $\vec{AC_1}$ и $\vec{CB_1}$.

Вектор $\vec{AC_1}$ имеет координаты, равные разности координат его конца и начала:

$\vec{AC_1} = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$.

Аналогично найдем координаты вектора $\vec{CB_1}$:

$\vec{CB_1} = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$.

Косинус угла $\phi$ между прямыми можно найти через скалярное произведение их направляющих векторов по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{AC_1} \cdot \vec{CB_1}|}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{CB_1}|}$.

Сначала вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{CB_1} = (-a) \cdot 0 + 0 \cdot a + a \cdot a = a^2$.

Затем вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$|\vec{CB_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|a^2|}{(a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.

$\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.