Номер 46, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 46, страница 157.

Условие.

16.46. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $BEDF$ – параллелограмм.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$. Через точку $O$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Рассмотрим четырёхугольник $BEDF$.

Для доказательства того, что $BEDF$ является параллелограммом, используем один из его признаков: если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Диагоналями четырёхугольника $BEDF$ являются отрезки $BD$ и $EF$. По условию задачи, они пересекаются в точке $O$.

1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, для диагонали $BD$ выполняется равенство $BO = DO$. Таким образом, точка $O$ является серединой диагонали $BD$.

2. Теперь докажем, что точка $O$ также является серединой диагонали $EF$, то есть $EO = FO$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle BOE$ и $\triangle DOF$.

В этих треугольниках:
- $BO = DO$, так как диагонали параллелограмма $ABCD$ в точке пересечения делятся пополам.
- $\angle EBO = \angle FDO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.
- $\angle BOE = \angle DOF$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle BOE = \triangle DOF$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $EO = FO$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $EF$.

Поскольку диагонали $BD$ и $EF$ четырёхугольника $BEDF$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам ($BO=DO$ и $EO=FO$), то четырёхугольник $BEDF$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Четырёхугольник $BEDF$ является параллелограммом, так как его диагонали $BD$ и $EF$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.