Номер 6, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 6, страница 160.

Условие.

6. Каким свойством обладают диагонали параллелепипеда?

Решение 1.

Решение 3.

Диагонали параллелепипеда обладают двумя основными свойствами, которые касаются их точки пересечения и соотношения их длин с длинами ребер.

Свойство 1: Точка пересечения диагоналей

Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Эта точка является центром симметрии параллелепипеда.

Доказательство:

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выберем вершину $A$ в качестве начала координат. Введем три некомпланарных вектора, соответствующих ребрам, выходящим из этой вершины: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Найдем радиус-векторы середин четырех диагоналей параллелепипеда: $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$ и $DB_1$. Радиус-вектор середины отрезка $XY$ находится по формуле $\vec{r}_M = \frac{1}{2}(\vec{r}_X + \vec{r}_Y)$.

• Для диагонали $AC_1$:$
  $ Радиус-вектор вершины $A$ равен $\vec{r}_A = \vec{0}$.
  Радиус-вектор вершины $C_1$ равен $\vec{r}_{C_1} = \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.
  Радиус-вектор середины $M_1$ отрезка $AC_1$: $$ \vec{r}_{M_1} = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_{C_1}}{2} = \frac{\vec{0} + (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $$
• Для диагонали $BD_1$:$
  $ Радиус-вектор вершины $B$ равен $\vec{r}_B = \vec{AB} = \vec{a}$.
  Радиус-вектор вершины $D_1$ равен $\vec{r}_{D_1} = \vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{c}$.
  Радиус-вектор середины $M_2$ отрезка $BD_1$: $$ \vec{r}_{M_2} = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_{D_1}}{2} = \frac{\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $$
• Для диагонали $CA_1$:$
  $ Радиус-вектор вершины $C$ равен $\vec{r}_C = \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.
  Радиус-вектор вершины $A_1$ равен $\vec{r}_{A_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.
  Радиус-вектор середины $M_3$ отрезка $CA_1$: $$ \vec{r}_{M_3} = \frac{\vec{r}_C + \vec{r}_{A_1}}{2} = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $$
• Для диагонали $DB_1$:$
  $ Радиус-вектор вершины $D$ равен $\vec{r}_D = \vec{AD} = \vec{b}$.
  Радиус-вектор вершины $B_1$ равен $\vec{r}_{B_1} = \vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$.
  Радиус-вектор середины $M_4$ отрезка $DB_1$: $$ \vec{r}_{M_4} = \frac{\vec{r}_D + \vec{r}_{B_1}}{2} = \frac{\vec{b} + (\vec{a} + \vec{c})}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $$

Поскольку радиус-векторы середин всех четырех диагоналей совпадают, это означает, что все диагонали пересекаются в одной и той же точке, которая является серединой для каждой из них.

Ответ: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Свойство 2: Соотношение длин диагоналей и ребер

Сумма квадратов длин всех четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов длин всех его двенадцати ребер.

Если $a$, $b$, $c$ — длины трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной вершины, а $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$ — длины его четырех диагоналей, то справедливо следующее равенство: $$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2 = 4(a^2 + b^2 + c^2)$$ Это тождество является обобщением тождества параллелограмма на трехмерное пространство.

Частный случай: прямоугольный параллелепипед.
Для прямоугольного параллелепипеда (у которого все грани — прямоугольники) все четыре диагонали равны по длине ($d_1=d_2=d_3=d_4=d$). Формула упрощается: $$4d^2 = 4(a^2 + b^2 + c^2)$$ что равносильно $$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$ Это является пространственным аналогом теоремы Пифагора.

Ответ: Сумма квадратов длин диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов длин его ребер.