Номер 3, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 3, страница 160.

Условие.

17.3. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 12 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите высоту параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a = 5$ см и $b = 12$ см, а его высота равна $h$.

Диагональ параллелепипеда, его высота и диагональ основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике высота $h$ является катетом, диагональ основания $d$ — вторым катетом, а диагональ параллелепипеда — гипотенузой. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между гипотенузой и катетом $d$. По условию этот угол равен $60^\circ$.

Сначала найдем длину диагонали основания $d$. Так как основание является прямоугольником, по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь, из прямоугольного треугольника, образованного высотой, диагональю основания и диагональю параллелепипеда, найдем высоту $h$. Высота $h$ является катетом, противолежащим углу в $60^\circ$, а диагональ основания $d$ — прилежащим катетом. Используя определение тангенса, можем записать:

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{d}$

Отсюда выразим и вычислим высоту $h$:

$h = d \cdot \tan(60^\circ) = 13 \cdot \sqrt{3} = 13\sqrt{3}$ см.

Ответ: $13\sqrt{3}$ см.