Номер 6, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Параллелепипед. Глава 4. Многогранники - номер 6, страница 160.

Условие.

17.6. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 17.7), $AB = 5$ см, $AD = 7$ см, $AA_1 = 12$ см. Найдите угол между:

1) прямой $DC_1$ и плоскостью $A_1 B_1 C_1$;

2) прямой $B_1 D$ и плоскостью $ABC$.

Решение 1.

Решение 3.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с измерениями $AB=5$ см (ширина), $AD=7$ см (длина), и $AA_1=12$ см (высота).

1) прямой $DC_1$ и плоскостью $A_1B_1C_1$;

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдём проекцию прямой $DC_1$ на плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$. Точка $C_1$ уже лежит в этой плоскости, поэтому её проекция — это сама точка $C_1$. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1$. Следовательно, проекцией точки $D$ на эту плоскость является точка $D_1$.

Таким образом, проекцией прямой $DC_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$ является прямая $D_1C_1$. Искомый угол — это угол $\angle DC_1D_1$ в прямоугольном треугольнике $\triangle DD_1C_1$ (угол $\angle DD_1C_1 = 90^\circ$).

В этом треугольнике катеты равны:

• $DD_1 = AA_1 = 12$ см (высота параллелепипеда).
• $D_1C_1 = AB = 5$ см (ширина параллелепипеда).

Найдём тангенс искомого угла $\alpha = \angle DC_1D_1$:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{DD_1}{D_1C_1} = \frac{12}{5} = 2,4$

Следовательно, угол равен $\arctan(2,4)$.

Ответ: $\arctan(2,4)$.

2) прямой $B_1D$ и плоскостью $ABC$.

Аналогично, найдём угол между прямой $B_1D$ (диагональ параллелепипеда) и плоскостью нижнего основания $ABC$.

Найдём проекцию прямой $B_1D$ на плоскость $ABC$. Точка $D$ уже лежит в этой плоскости, значит, она проектируется в саму себя. Ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости $ABC$, поэтому проекцией точки $B_1$ на эту плоскость является точка $B$.

Проекцией прямой $B_1D$ на плоскость $ABC$ является прямая $BD$ (диагональ основания). Искомый угол — это угол $\beta = \angle B_1DB$ в прямоугольном треугольнике $\triangle B_1BD$ (угол $\angle B_1BD = 90^\circ$).

Найдём длины катетов этого треугольника:

• $B_1B = AA_1 = 12$ см (высота параллелепипеда).
• $BD$ — диагональ прямоугольника $ABCD$. Найдём её по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABD$:
  $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}$ см.

Теперь найдём тангенс искомого угла $\beta = \angle B_1DB$:

$\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{B_1B}{BD} = \frac{12}{\sqrt{74}}$

Следовательно, угол равен $\arctan\left(\frac{12}{\sqrt{74}}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{12}{\sqrt{74}}\right)$.