Страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют параллелепипедом?

Параллелепипедом называют объёмную геометрическую фигуру, представляющую собой многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом. Также параллелепипед можно определить как призму, в основании которой лежит параллелограмм.

Основные элементы и свойства параллелепипеда: он имеет 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая является его центром симметрии, и делятся этой точкой пополам.

Существуют следующие основные виды параллелепипедов:
Прямой параллелепипед – это параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. У такого параллелепипеда боковые грани являются прямоугольниками, а основания – параллелограммами.
Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, у которого основания также являются прямоугольниками. Соответственно, все шесть граней прямоугольного параллелепипеда – это прямоугольники. Его объём вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ – длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины.
Куб – это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все рёбра равны. Все его грани являются равными квадратами.
Наклонный параллелепипед – это параллелепипед, боковые рёбра которого не перпендикулярны плоскости основания.

Ответ: Параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них является параллелограммом.

2. Какие грани параллелепипеда называют противоположными?

Противолежащими гранями параллелепипеда называют две грани, которые не имеют ни одной общей вершины и ни одного общего ребра. Другими словами, это грани, расположенные друг напротив друга.

У любого параллелепипеда существует ровно три пары противолежащих граней. Основные свойства противолежащих граней:

• Противолежащие грани параллельны друг другу.
• Противолежащие грани равны друг другу (то есть являются конгруэнтными параллелограммами).

Рассмотрим для примера параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Парами противолежащих граней в нём будут:

1. Нижнее и верхнее основания: грань $ABCD$ и грань $A_1B_1C_1D_1$.
2. Передняя и задняя грани: грань $ABB_1A_1$ и грань $DCC_1D_1$.
3. Левая и правая боковые грани: грань $ADD_1A_1$ и грань $BCC_1B_1$.

Ответ: Противолежащими гранями параллелепипеда называют две грани, которые не имеют общих ребер.

3. Какой параллелепипед называют прямым?

Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что угол между боковым ребром и любой прямой, лежащей в плоскости основания, равен $90^\circ$.

Из этого определения следуют ключевые свойства прямого параллелепипеда:

1. Основаниями являются два равных параллелограмма, которые лежат в параллельных плоскостях.

2. Боковые грани — все четыре боковые грани являются прямоугольниками, так как их боковые стороны (рёбра параллелепипеда) перпендикулярны двум другим сторонам (сторонам оснований).

3. Высота прямого параллелепипеда равна длине его бокового ребра.

Частным случаем прямого параллелепипеда является прямоугольный параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник. Следовательно, у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней — прямоугольники.

Ответ: Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны плоскостям его оснований.

4. Какой параллелепипед называют прямоугольным?

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.

Это определение эквивалентно следующему: прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник. У прямого параллелепипеда боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Так как в основании лежит прямоугольник, то все его углы прямые. Из этого следует, что боковые грани также являются прямоугольниками, и, следовательно, все шесть граней фигуры — прямоугольники.

Основные свойства прямоугольного параллелепипеда:

• Все шесть граней — прямоугольники.
• Противоположные грани равны и параллельны.
• Все двугранные углы (углы между гранями) — прямые, то есть равны $90^\circ$.
• Прямоугольный параллелепипед характеризуется тремя измерениями: длиной ($a$), шириной ($b$) и высотой ($c$). Это длины трёх рёбер, исходящих из одной вершины.
• Квадрат длины любой диагонали ($d$) прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

В повседневной жизни форму прямоугольного параллелепипеда имеют многие предметы, например, кирпич, книга, системный блок компьютера или спичечный коробок.

Ответ: Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.

5. Что называют измерениями прямоугольного параллелепипеда?

Измерениями прямоугольного параллелепипеда называют длины трех его ребер, которые выходят из одной общей вершины. Поскольку все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками, эти три ребра взаимно перпендикулярны.

Эти три измерения принято называть длиной, шириной и высотой. Эти три величины полностью определяют форму и размер прямоугольного параллелепипеда.

Если обозначить измерения буквами $a$, $b$ и $c$, то зная их, можно вычислить его объем по формуле $V = a \cdot b \cdot c$ и площадь полной поверхности по формуле $S = 2(ab + bc + ac)$.

Ответ: Измерениями прямоугольного параллелепипеда называют его длину, ширину и высоту.

6. Каким свойством обладают диагонали параллелепипеда?

Диагонали параллелепипеда обладают двумя основными свойствами, которые касаются их точки пересечения и соотношения их длин с длинами ребер.

Свойство 1: Точка пересечения диагоналей

Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Эта точка является центром симметрии параллелепипеда.

Доказательство:

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выберем вершину $A$ в качестве начала координат. Введем три некомпланарных вектора, соответствующих ребрам, выходящим из этой вершины: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Найдем радиус-векторы середин четырех диагоналей параллелепипеда: $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$ и $DB_1$. Радиус-вектор середины отрезка $XY$ находится по формуле $\vec{r}_M = \frac{1}{2}(\vec{r}_X + \vec{r}_Y)$.

• Для диагонали $AC_1$:$
  $ Радиус-вектор вершины $A$ равен $\vec{r}_A = \vec{0}$.
  Радиус-вектор вершины $C_1$ равен $\vec{r}_{C_1} = \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.
  Радиус-вектор середины $M_1$ отрезка $AC_1$: $$ \vec{r}_{M_1} = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_{C_1}}{2} = \frac{\vec{0} + (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $$
• Для диагонали $BD_1$:$
  $ Радиус-вектор вершины $B$ равен $\vec{r}_B = \vec{AB} = \vec{a}$.
  Радиус-вектор вершины $D_1$ равен $\vec{r}_{D_1} = \vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{c}$.
  Радиус-вектор середины $M_2$ отрезка $BD_1$: $$ \vec{r}_{M_2} = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_{D_1}}{2} = \frac{\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $$
• Для диагонали $CA_1$:$
  $ Радиус-вектор вершины $C$ равен $\vec{r}_C = \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.
  Радиус-вектор вершины $A_1$ равен $\vec{r}_{A_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.
  Радиус-вектор середины $M_3$ отрезка $CA_1$: $$ \vec{r}_{M_3} = \frac{\vec{r}_C + \vec{r}_{A_1}}{2} = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $$
• Для диагонали $DB_1$:$
  $ Радиус-вектор вершины $D$ равен $\vec{r}_D = \vec{AD} = \vec{b}$.
  Радиус-вектор вершины $B_1$ равен $\vec{r}_{B_1} = \vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$.
  Радиус-вектор середины $M_4$ отрезка $DB_1$: $$ \vec{r}_{M_4} = \frac{\vec{r}_D + \vec{r}_{B_1}}{2} = \frac{\vec{b} + (\vec{a} + \vec{c})}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $$

Поскольку радиус-векторы середин всех четырех диагоналей совпадают, это означает, что все диагонали пересекаются в одной и той же точке, которая является серединой для каждой из них.

Ответ: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Свойство 2: Соотношение длин диагоналей и ребер

Сумма квадратов длин всех четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов длин всех его двенадцати ребер.

Если $a$, $b$, $c$ — длины трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной вершины, а $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$ — длины его четырех диагоналей, то справедливо следующее равенство: $$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2 = 4(a^2 + b^2 + c^2)$$ Это тождество является обобщением тождества параллелограмма на трехмерное пространство.

Частный случай: прямоугольный параллелепипед.
Для прямоугольного параллелепипеда (у которого все грани — прямоугольники) все четыре диагонали равны по длине ($d_1=d_2=d_3=d_4=d$). Формула упрощается: $$4d^2 = 4(a^2 + b^2 + c^2)$$ что равносильно $$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$ Это является пространственным аналогом теоремы Пифагора.

Ответ: Сумма квадратов длин диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов длин его ребер.

7. Сформулируйте теорему о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Теорема о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда утверждает, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трёх его измерений (длины, ширины и высоты).

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями $a$ (длина), $b$ (ширина) и $c$ (высота).

1. Сначала найдем квадрат диагонали его основания. Основание является прямоугольником со сторонами $a$ и $b$. Обозначим диагональ основания как $d_{осн}$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $a$, $b$ и диагональю $d_{осн}$, имеем:

$d_{осн}^2 = a^2 + b^2$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются диагональ основания $d_{осн}$ и боковое ребро (высота) $c$, а гипотенузой — диагональ самого параллелепипеда $d$.

3. Применив теорему Пифагора к этому треугольнику, получим:

$d^2 = d_{осн}^2 + c^2$

4. Подставим в это равенство выражение для $d_{осн}^2$ из первого шага:

$d^2 = (a^2 + b^2) + c^2$

Таким образом, мы получаем итоговую формулу:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Если измерения параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$, а его диагональ равна $d$, то их связывает формула $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

17.1. Можно ли считать верным такое определение куба: «Кубом называют правильную четырёхугольную призму, высота которой равна стороне основания»?

17.1.

Да, данное определение можно считать верным. Чтобы это доказать, разберем его по частям.

Определение утверждает, что куб — это «правильная четырёхугольная призма, высота которой равна стороне основания».

Сначала проанализируем термин «правильная четырёхугольная призма». По определению, правильная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

• Правильный многоугольник в данном случае — это правильный четырёхугольник, то есть квадрат (четырёхугольник, у которого все стороны и все углы равны).
• Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Это означает, что её боковые грани являются прямоугольниками.

Следовательно, правильная четырёхугольная призма — это многогранник, у которого два основания являются равными квадратами, лежащими в параллельных плоскостях, а четыре боковые грани — прямоугольники.

Теперь добавим вторую часть определения: «высота которой равна стороне основания».

Пусть сторона квадрата в основании равна $a$. Высота прямой призмы $h$ равна длине её бокового ребра. Согласно условию, $h = a$.

Рассмотрим, какими фигурами являются все грани такой призмы:

• Два основания — это квадраты со стороной $a$.
• Четыре боковые грани — это прямоугольники. Сторонами каждого такого прямоугольника являются сторона основания ($a$) и высота призмы ($h$). Поскольку по условию $h = a$, то боковые грани являются прямоугольниками со сторонами $a$ и $a$, то есть они тоже являются квадратами.

В итоге мы получили многогранник, у которого все шесть граней являются равными квадратами. Такой многогранник по определению является кубом.

Вывод: данное в задаче определение является полным и корректным.

Ответ: Да, данное определение можно считать верным.

17.2. Докажите, что в прямом параллелепипеде плоскость диагонального сечения перпендикулярна плоскости основания.

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $(ABCD)$ является плоскостью его основания.

По определению, прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, что записывается как $AA_1 \perp (ABCD)$.

Рассмотрим одно из диагональных сечений данного параллелепипеда. Диагональное сечение — это плоскость, проходящая через два противолежащих боковых ребра. Возьмем, к примеру, сечение, проходящее через диагональ основания $AC$. Эта плоскость также проходит через параллельную ей диагональ верхнего основания $A_1C_1$ и боковые ребра $AA_1$ и $CC_1$. Обозначим эту плоскость как $(ACC_1A_1)$.

Требуется доказать, что плоскость диагонального сечения $(ACC_1A_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$, то есть $(ACC_1A_1) \perp (ABCD)$.

Для доказательства воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

В нашем случае выполнены все условия этого признака:

• Плоскость диагонального сечения $(ACC_1A_1)$ содержит прямую $AA_1$ (так как сечение проходит через ребро $AA_1$).
• Прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$ (по определению прямого параллелепипеда).

Поскольку плоскость $(ACC_1A_1)$ проходит через прямую $AA_1$, которая перпендикулярна плоскости $(ABCD)$, то, согласно признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $(ACC_1A_1)$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$.

Аналогичное доказательство справедливо для любого другого диагонального сечения (например, для $(BDD_1B_1)$), так как оно всегда будет содержать боковое ребро, перпендикулярное основанию. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

17.3. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 12 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите высоту параллелепипеда.

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a = 5$ см и $b = 12$ см, а его высота равна $h$.

Диагональ параллелепипеда, его высота и диагональ основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике высота $h$ является катетом, диагональ основания $d$ — вторым катетом, а диагональ параллелепипеда — гипотенузой. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между гипотенузой и катетом $d$. По условию этот угол равен $60^\circ$.

Сначала найдем длину диагонали основания $d$. Так как основание является прямоугольником, по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь, из прямоугольного треугольника, образованного высотой, диагональю основания и диагональю параллелепипеда, найдем высоту $h$. Высота $h$ является катетом, противолежащим углу в $60^\circ$, а диагональ основания $d$ — прилежащим катетом. Используя определение тангенса, можем записать:

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{d}$

Отсюда выразим и вычислим высоту $h$:

$h = d \cdot \tan(60^\circ) = 13 \cdot \sqrt{3} = 13\sqrt{3}$ см.

Ответ: $13\sqrt{3}$ см.

17.4. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 7 см и 24 см, а высота – 4 см. Найдите площадь диагонального сечения параллелепипеда.

Дано: прямоугольный параллелепипед, у которого стороны основания равны $a = 7$ см и $b = 24$ см, а высота $h = 4$ см.

Требуется найти площадь диагонального сечения.

Диагональное сечение прямоугольного параллелепипеда представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются диагональ основания и высота параллелепипеда.

1. Найдем диагональ основания.
Основание параллелепипеда — это прямоугольник со сторонами $a = 7$ см и $b = 24$ см. Его диагональ $d$ можно найти с помощью теоремы Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$ $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ см.

2. Найдем площадь диагонального сечения.
Сторонами диагонального сечения являются диагональ основания $d = 25$ см и высота параллелепипеда $h = 4$ см. Площадь этого сечения ($S_{сеч}$) равна произведению его сторон: $S_{сеч} = d \cdot h$ $S_{сеч} = 25 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$.

Ответ: $100 \text{ см}^2$.

Рис. 17.7

17.5.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 17.7), $AB = 5$ см,

$AD = 7$ см, $AA_1 = 12$ см. Найдите угол между:

1) прямой $DC_1$ и плоскостью $BCC_1$;

2) прямой $B_1D$ и плоскостью $ABB_1$.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с измерениями $AB=5$ см, $AD=7$ см, $AA_1=12$ см.

1) Найдите угол между прямой $DC_1$ и плоскостью $BCC_1$

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдём проекцию прямой $DC_1$ на плоскость грани $BCC_1B_1$.

Точка $C_1$ принадлежит плоскости $BCC_1$, следовательно, она проецируется сама в себя.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его ребро $DC$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$ (так как $DC \perp BC$ и $DC \perp CC_1$). Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $BCC_1$ является точка $C$.

Таким образом, проекцией прямой $DC_1$ на плоскость $BCC_1$ является прямая $CC_1$.

Искомый угол — это угол между наклонной $DC_1$ и её проекцией $CC_1$, то есть угол $\angle DC_1C$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DC_1C$. Так как ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $BCC_1$, то оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $CC_1$. Следовательно, $\triangle DC_1C$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

В этом треугольнике нам известны длины катетов: $DC = AB = 5$ см и $CC_1 = AA_1 = 12$ см.

Найдём тангенс угла $\angle DC_1C$: $$ \tan(\angle DC_1C) = \frac{DC}{CC_1} = \frac{5}{12} $$ Следовательно, искомый угол $\alpha = \arctan\left(\frac{5}{12}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{5}{12}\right)$.

2) Найдите угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $ABB_1$

Найдём проекцию прямой $B_1D$ на плоскость грани $ABB_1A_1$.

Точка $B_1$ принадлежит плоскости $ABB_1$, следовательно, её проекция — это сама точка $B_1$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, ребро $AD$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$ (так как $AD \perp AB$ и $AD \perp AA_1$). Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $ABB_1$ является точка $A$.

Таким образом, проекцией прямой $B_1D$ на плоскость $ABB_1$ является прямая $B_1A$.

Искомый угол — это угол между наклонной $B_1D$ и её проекцией $B_1A$, то есть угол $\angle AB_1D$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AB_1D$. Так как ребро $AD$ перпендикулярно плоскости $ABB_1$, то оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $AB_1$. Следовательно, $\triangle AB_1D$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.

В этом треугольнике нам известен катет $AD = 7$ см. Найдём длину второго катета $AB_1$. $AB_1$ — это диагональ грани $ABB_1A_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABB_1$ (с прямым углом $B$). По теореме Пифагора: $$ AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $$ $$ AB_1 = \sqrt{169} = 13 \text{ см} $$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle AB_1D$. Найдём тангенс угла $\angle AB_1D$: $$ \tan(\angle AB_1D) = \frac{AD}{AB_1} = \frac{7}{13} $$ Следовательно, искомый угол $\beta = \arctan\left(\frac{7}{13}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{7}{13}\right)$.

17.6. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 17.7), $AB = 5$ см, $AD = 7$ см, $AA_1 = 12$ см. Найдите угол между:

1) прямой $DC_1$ и плоскостью $A_1 B_1 C_1$;

2) прямой $B_1 D$ и плоскостью $ABC$.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с измерениями $AB=5$ см (ширина), $AD=7$ см (длина), и $AA_1=12$ см (высота).

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдём проекцию прямой $DC_1$ на плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$. Точка $C_1$ уже лежит в этой плоскости, поэтому её проекция — это сама точка $C_1$. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1$. Следовательно, проекцией точки $D$ на эту плоскость является точка $D_1$.

Таким образом, проекцией прямой $DC_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$ является прямая $D_1C_1$. Искомый угол — это угол $\angle DC_1D_1$ в прямоугольном треугольнике $\triangle DD_1C_1$ (угол $\angle DD_1C_1 = 90^\circ$).

В этом треугольнике катеты равны:

• $DD_1 = AA_1 = 12$ см (высота параллелепипеда).
• $D_1C_1 = AB = 5$ см (ширина параллелепипеда).

Найдём тангенс искомого угла $\alpha = \angle DC_1D_1$:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{DD_1}{D_1C_1} = \frac{12}{5} = 2,4$

Следовательно, угол равен $\arctan(2,4)$.

Ответ: $\arctan(2,4)$.

Аналогично, найдём угол между прямой $B_1D$ (диагональ параллелепипеда) и плоскостью нижнего основания $ABC$.

Найдём проекцию прямой $B_1D$ на плоскость $ABC$. Точка $D$ уже лежит в этой плоскости, значит, она проектируется в саму себя. Ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости $ABC$, поэтому проекцией точки $B_1$ на эту плоскость является точка $B$.

Проекцией прямой $B_1D$ на плоскость $ABC$ является прямая $BD$ (диагональ основания). Искомый угол — это угол $\beta = \angle B_1DB$ в прямоугольном треугольнике $\triangle B_1BD$ (угол $\angle B_1BD = 90^\circ$).

Найдём длины катетов этого треугольника:

• $B_1B = AA_1 = 12$ см (высота параллелепипеда).
• $BD$ — диагональ прямоугольника $ABCD$. Найдём её по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABD$:
  $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}$ см.

Теперь найдём тангенс искомого угла $\beta = \angle B_1DB$:

$\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{B_1B}{BD} = \frac{12}{\sqrt{74}}$

Следовательно, угол равен $\arctan\left(\frac{12}{\sqrt{74}}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{12}{\sqrt{74}}\right)$.

17.7. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 3 см и 6 см.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда можно найти, используя теорему Пифагора в пространстве. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты).

Формула для нахождения диагонали $d$ с измерениями $a$, $b$ и $c$ выглядит следующим образом:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

или

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Согласно условию задачи, измерения параллелепипеда равны:

$a = 2$ см
$b = 3$ см
$c = 6$ см

Подставим эти значения в формулу:

$d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}$

Теперь выполним вычисления:

$d = \sqrt{4 + 9 + 36}$

$d = \sqrt{49}$

$d = 7$ см

Ответ: 7 см.