Страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют пирамидой?

1. Что называют пирамидой?

Пирамида — это многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) является произвольным многоугольником, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину. Эта общая вершина называется вершиной пирамиды.

Ключевые элементы пирамиды:

• Основание: многоугольник, на котором "стоит" пирамида.
• Вершина: точка, не лежащая в плоскости основания, в которой сходятся все боковые рёбра.
• Боковые грани: треугольники, образующие боковую поверхность пирамиды.
• Боковые рёбра: отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами многоугольника в основании.
• Высота ($h$): длина перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость её основания.

Пирамиды классифицируют по количеству углов у многоугольника в основании. Например:

• Треугольная пирамида (тетраэдр) — в основании треугольник.
• Четырёхугольная пирамида — в основании четырёхугольник.
• n-угольная пирамида — в основании n-угольник.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника. У правильной пирамиды все боковые рёбра равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой ($a$).

Объём любой пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Ответ: Пирамида — это многогранник, основанием которого является многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

2. Что называют высотой пирамиды?

2. Высотой пирамиды называют перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания.

Дадим развернутое объяснение. Пирамида — это пространственная фигура (многогранник), состоящая из многоугольника в основании (например, треугольника, квадрата и т.д.) и треугольных боковых граней, которые сходятся в одной общей точке — вершине пирамиды.

Высота — это отрезок, который обладает следующими свойствами:
1. Один его конец находится в вершине пирамиды.
2. Другой его конец (называемый основанием высоты) лежит в плоскости основания пирамиды.
3. Этот отрезок перпендикулярен плоскости основания, то есть образует с любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через основание высоты, прямой угол ($90^\circ$).

Длина этого отрезка-перпендикуляра и есть числовое значение высоты. Высоту принято обозначать латинской буквой $H$. Этот параметр является ключевым для вычисления объёма пирамиды по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$,
где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Ответ: Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания.

3. Какое сечение называют диагональным сечением пирамиды?

Какое сечение называют диагональным сечением пирамиды?

Диагональным сечением пирамиды называется сечение, образованное плоскостью, которая проходит через вершину пирамиды и диагональ её основания. Эту плоскость также можно определить как плоскость, проходящую через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащих одной и той же боковой грани.

Фигурой, получающейся в результате диагонального сечения, всегда является треугольник. Вершинами этого треугольника являются вершина пирамиды и две вершины основания, которые соединены диагональю. Соответственно, сторонами этого треугольника являются два боковых ребра пирамиды и сама диагональ основания.

Количество возможных диагональных сечений пирамиды равно количеству диагоналей в многоугольнике, лежащем в её основании. Для пирамиды, в основании которой лежит $n$-угольник (где $n > 3$), количество диагональных сечений можно найти по формуле для числа диагоналей многоугольника:
$N = \frac{n(n-3)}{2}$
где $N$ — это количество диагональных сечений, а $n$ — количество вершин (или сторон) многоугольника в основании.

Например, у четырёхугольной пирамиды есть 2 диагональных сечения, так как у четырёхугольника в основании 2 диагонали. У пятиугольной пирамиды будет $N = \frac{5(5-3)}{2} = 5$ диагональных сечений.

Ответ: Диагональным сечением пирамиды называют сечение плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ её основания.

4. Какую пирамиду называют правильной?

Правильной пирамидой называется пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Это определение включает в себя два ключевых условия:

1. Основание — правильный многоугольник. Это значит, что все стороны многоугольника в основании равны, и все его внутренние углы также равны. Примерами могут служить равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и т.д.
2. Вершина проецируется в центр основания. Это означает, что если из вершины пирамиды опустить перпендикуляр на плоскость основания, то он попадет точно в центр этого основания. Этот перпендикуляр является высотой пирамиды ($h$). Центр правильного многоугольника — это точка, равноудаленная от всех его вершин (центр описанной окружности), а также от всех его сторон (центр вписанной окружности).

Благодаря этим условиям, правильная пирамида обладает рядом характерных свойств:

• Все боковые ребра равны между собой.
• Все боковые грани являются равными (конгруэнтными) равнобедренными треугольниками.
• Высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды (называемые апофемами), равны между собой.
• Все двугранные углы при ребрах основания равны.

Ответ: Правильная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

5. Что называют апофемой правильной пирамиды?

5. Что называют апофемой правильной пирамиды?

Для того чтобы дать определение апофемы, сначала необходимо определить, что такое правильная пирамида. Правильная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник (все стороны и углы равны), а её вершина проецируется в центр этого многоугольника.

Из этого определения следует важное свойство: все боковые грани правильной пирамиды являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

Апофемой правильной пирамиды называют высоту её боковой грани, проведённую из вершины пирамиды к стороне основания.

Так как все боковые грани правильной пирамиды равны, то и все её апофемы также равны между собой. Апофема (обозначим её $l$) связана с высотой пирамиды ($h$) и радиусом вписанной в основание окружности ($r$) через теорему Пифагора, поскольку они образуют прямоугольный треугольник: $l^2 = h^2 + r^2$.

Ответ: Апофемой правильной пирамиды называется высота её боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания.

6. Что называют площадью боковой поверхности пирамиды?

Что называют апофемой правильной пирамиды?

Апофемой правильной пирамиды называется высота ее боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания. Поскольку в правильной пирамиде основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в его центр, все боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники. Следовательно, все апофемы в правильной пирамиде равны между собой. Апофема является важным элементом при вычислении площади боковой поверхности.

Ответ: Апофемой правильной пирамиды называют высоту ее боковой грани, проведенную из вершины.

Что называют площадью боковой поверхности пирамиды?

Площадью боковой поверхности пирамиды называют сумму площадей всех ее боковых граней. Каждая боковая грань пирамиды является треугольником.

Для вычисления площади боковой поверхности произвольной пирамиды необходимо найти площадь каждой ее боковой грани в отдельности и сложить полученные результаты: $S_{бок} = S_1 + S_2 + \dots + S_n = \sum_{i=1}^{n} S_i$, где $S_i$ – площадь i-ой боковой грани.

Для правильной пирамиды, у которой все боковые грани — равные треугольники, существует более простая формула. Площадь ее боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$,
где $P$ – периметр основания, а $l$ – длина апофемы.

Ответ: Площадью боковой поверхности пирамиды называют сумму площадей всех ее боковых граней.

7. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется на основе периметра ее основания и высоты боковой грани (апофемы).

Правильная пирамида — это пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник (все стороны и углы равны), а вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника. Следствием этого является то, что все боковые грани правильной пирамиды являются равными (конгруэнтными) равнобедренными треугольниками.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) — это сумма площадей всех ее боковых граней. Так как все боковые грани одинаковы, можно найти площадь одной грани и умножить ее на их количество.

Высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой и обозначается, как правило, буквой $l$.

Площадь одной боковой грани (треугольника) равна половине произведения ее основания (которое является стороной основания пирамиды, $a$) на высоту (апофему, $l$): $S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot l$.

Если в основании лежит $n$-угольник, то у пирамиды $n$ боковых граней. Тогда площадь боковой поверхности равна:

$S_{бок} = n \cdot S_{грани} = n \cdot (\frac{1}{2} a \cdot l) = \frac{1}{2} \cdot (n \cdot a) \cdot l$

Произведение числа сторон $n$ на длину стороны $a$ ($n \cdot a$) является периметром основания пирамиды ($P_{осн}$).

Таким образом, формула для площади боковой поверхности правильной пирамиды принимает вид:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$

где $P_{осн}$ — периметр основания, а $l$ — апофема пирамиды.

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра ее основания на апофему. Формула: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$.

18.1. Сколько вершин, граней, рёбер имеет $n$-угольная пирамида?

Вершины: У n-угольной пирамиды есть $n$ вершин в основании (так как основание — это n-угольник) и одна вершина сверху (апекс). Таким образом, общее количество вершин равно сумме вершин основания и апекса.
Количество вершин = $n + 1$.
Ответ: $n + 1$.

Грани: Пирамида состоит из одной грани-основания (n-угольника) и $n$ боковых граней, которые являются треугольниками. Каждая сторона основания образует одну треугольную грань с апексом.
Количество граней = $1$ (основание) $+ n$ (боковые грани) $= n + 1$.
Ответ: $n + 1$.

Рёбра: В основании пирамиды есть $n$ рёбер (стороны n-угольника). Также от каждой из $n$ вершин основания к апексу идёт по одному боковому ребру, что даёт ещё $n$ рёбер.
Количество рёбер = $n$ (в основании) $+ n$ (боковые) $= 2n$.
Ответ: $2n$.

18.2. Какое наименьшее количество граней может иметь пирамида?

18.2.

Пирамида представляет собой многогранник, состоящий из основания, которое является многоугольником, и боковых граней, которые являются треугольниками с общей вершиной (вершиной пирамиды).

Общее число граней пирамиды складывается из одной грани основания и боковых граней. Количество боковых граней всегда равно количеству сторон многоугольника, лежащего в основании.

Пусть в основании пирамиды лежит многоугольник с $n$ сторонами. Тогда у этой пирамиды будет $n$ боковых граней. Общее количество граней $F$ можно найти по формуле:

$F = n_{\text{боковых граней}} + 1_{\text{основание}} = n + 1$

Чтобы найти наименьшее количество граней, нужно взять многоугольник с наименьшим возможным числом сторон. Наименьшее число сторон, которое может иметь многоугольник, равно трём. Такой многоугольник — треугольник. Значит, минимальное значение для $n$ равно 3.

Подставив это значение в формулу, получим минимальное количество граней для пирамиды:

$F_{\min} = 3 + 1 = 4$

Такая пирамида называется тетраэдром или треугольной пирамидой. Она состоит из одного треугольного основания и трёх треугольных боковых граней.

Ответ: 4.

18.3. Докажите, что количество рёбер любой пирамиды является чётным числом.

Рассмотрим произвольную пирамиду. В основании любой пирамиды лежит некоторый многоугольник. Обозначим количество сторон этого многоугольника через $n$. По определению многоугольника, $n$ является целым числом, и $n \ge 3$.

Все рёбра пирамиды можно разделить на две группы: рёбра, лежащие в основании (рёбра основания), и рёбра, соединяющие вершины основания с вершиной пирамиды (боковые рёбра).

1. Количество рёбер основания равно количеству сторон многоугольника, лежащего в основании. Таким образом, количество рёбер основания равно $n$.

2. Количество боковых рёбер равно количеству вершин многоугольника в основании. Поскольку у n-угольника $n$ вершин, то и боковых рёбер у пирамиды также $n$.

Общее количество рёбер пирамиды равно сумме количества рёбер основания и количества боковых рёбер.

Общее количество рёбер = $n$ (рёбра основания) + $n$ (боковые рёбра) = $2n$.

Поскольку $n$ — это целое число, то произведение $2n$ всегда будет делиться на 2 без остатка, что по определению означает, что $2n$ — чётное число.

Таким образом, мы доказали, что количество рёбер любой пирамиды является чётным числом.

Ответ: Общее количество рёбер пирамиды, в основании которой лежит n-угольник, вычисляется по формуле $n + n = 2n$. Так как $n$ — целое число, то $2n$ всегда является чётным числом.

18.4. На рисунке 18.7 изображена правильная треугольная пирамида $SABC$.

Перерисуйте рисунок в тетрадь и изобразите:

1) высоту пирамиды;

2) угол наклона ребра $SA$ к плоскости основания;

3) линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре $BC$.

Рис. 18.7

Поскольку пирамида $SABC$ является правильной, ее основание $ABC$ — равносторонний треугольник, а вершина $S$ проецируется в центр этого треугольника. Обозначим центр основания как точку $O$.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания. Так как по свойству правильной пирамиды вершина $S$ проецируется в центр основания $O$, то отрезком, изображающим высоту, является отрезок $SO$. Для его построения необходимо найти центр $O$ треугольника $ABC$. В равностороннем треугольнике центр является точкой пересечения медиан (а также высот и биссектрис). Проведем, например, медиану $AM$ (где $M$ — середина $BC$) и медиану $BN$ (где $N$ — середина $AC$). Точка их пересечения $O$ и будет центром основания. Соединив точки $S$ и $O$, получим высоту $SO$.

Ответ: Высотой пирамиды является отрезок $SO$, где $O$ — центр треугольника $ABC$.

Углом наклона прямой к плоскости называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. В данном случае прямой является ребро $SA$, а плоскостью — основание $(ABC)$.

Проекцией точки $S$ на плоскость $(ABC)$ является точка $O$ (основание высоты). Точка $A$ принадлежит плоскости основания, поэтому ее проекция совпадает с ней самой. Следовательно, отрезок $AO$ является проекцией ребра $SA$ на плоскость основания. Угол между ребром $SA$ и его проекцией $AO$ — это угол $SAO$.

Ответ: Углом наклона ребра $SA$ к плоскости основания является угол $SAO$.

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными из одной точки на ребре в плоскостях граней. Двугранный угол при ребре $BC$ образован гранями $(SBC)$ и $(ABC)$.

Проведем в плоскости боковой грани $(SBC)$ высоту $SM$ к ребру $BC$ (где $M$ — середина $BC$). Так как боковая грань правильной пирамиды — равнобедренный треугольник ($SB=SC$), то медиана $SM$ является и высотой, то есть $SM \perp BC$.

Проведем в плоскости основания $(ABC)$ медиану $AM$. Так как основание — равносторонний треугольник, медиана $AM$ является и высотой, то есть $AM \perp BC$.

Оба перпендикуляра, $SM$ и $AM$, проведены к ребру $BC$ в одной и той же точке $M$. Следовательно, угол между ними, $\angle SMA$, и является линейным углом двугранного угла при ребре $BC$.

Ответ: Линейным углом двугранного угла пирамиды при ребре $BC$ является угол $SMA$, где $M$ — середина ребра $BC$.

18.5. На рисунке 18.8 изображена правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$. Перерисуйте рисунок в тетрадь и изобразите:

1) высоту пирамиды;

2) угол наклона ребра $SC$ к плоскости основания;

3) линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре $AD$.

Рис. 18.7

Рис. 18.8

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD основанием является квадрат ABCD, а вершина S проецируется в центр этого квадрата. Перерисуем рисунок 18.8 и выполним на нем построения.

1) высоту пирамиды;

Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.В правильной пирамиде SABCD вершина S проецируется в центр основания. Центром квадрата ABCD является точка пересечения его диагоналей. Проведем диагонали AC и BD. Пусть они пересекаются в точке O.Тогда отрезок SO перпендикулярен плоскости основания (ABC). Следовательно, SO — высота пирамиды.

Ответ: Высотой пирамиды является отрезок SO, где O — точка пересечения диагоналей основания AC и BD.

2) угол наклона ребра SC к плоскости основания;

Угол наклона прямой (ребра SC) к плоскости (основания ABCD) — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.Высота SO перпендикулярна плоскости основания, значит, точка O является проекцией точки S на плоскость (ABC). Точка C лежит в плоскости основания, поэтому ее проекция совпадает с самой собой.Следовательно, отрезок OC является проекцией наклонной (ребра) SC на плоскость основания (ABC).Искомый угол — это угол между ребром SC и его проекцией OC, то есть угол $SCO$.

Ответ: Углом наклона ребра SC к плоскости основания является угол $SCO$.

3) линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре AD.

Двугранный угол при ребре AD образован двумя полуплоскостями: плоскостью боковой грани (SAD) и плоскостью основания (ABC).Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя лучами, проведенными в его гранях перпендикулярно ребру из одной точки на ребре.Построим линейный угол.1. В плоскости основания (ABC) проведем перпендикуляр к ребру AD. Пусть M — середина ребра AD. Проведем отрезок OM. Так как ABCD — квадрат, а O — его центр, то OM — это средняя линия треугольника ABD, параллельная AB. Поскольку $AB \perp AD$, то и $OM \perp AD$.2. В плоскости боковой грани (SAD) проведем перпендикуляр к ребру AD из точки M. Треугольник SAD — равнобедренный ($SA = SD$ как боковые ребра правильной пирамиды). Поэтому медиана SM, проведенная к основанию AD, является также и высотой. Значит, $SM \perp AD$.3. Мы построили два перпендикуляра к общему ребру AD в точке M: OM в плоскости основания и SM в плоскости боковой грани. Угол между этими отрезками, $\angle SMO$, и является линейным углом двугранного угла при ребре AD.

Ответ: Линейным углом двугранного угла при ребре AD является угол $\angle SMO$, где O — центр основания, а M — середина ребра AD.

18.6. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $ABC$ — равносторонний треугольник в основании, а $S$ — вершина пирамиды. Сторона основания $a = AB = BC = AC = 12$ см.

Высота пирамиды $SO$ опускается в центр основания $O$, который является центром описанной и вписанной окружностей для равностороннего треугольника $ABC$.

Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания $ABC$ является отрезок $OA$. Таким образом, по условию задачи, угол $∠SAO = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (где $∠SOA = 90°$, так как $SO$ — высота). В этом треугольнике катет $SO$ — это искомая высота пирамиды $H$, а катет $OA$ — это радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Найдем радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$. Формула для радиуса: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставим значение стороны $a = 12$ см:

$OA = R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $SOA$. Мы знаем катет $OA$ и противолежащий ему угол $∠SAO$. Мы можем найти высоту $H = SO$ через тангенс этого угла:

$tan(∠SAO) = \frac{SO}{OA}$

Отсюда выразим высоту $SO$:

$H = SO = OA \cdot tan(∠SAO)$

Подставим известные значения $OA = 4\sqrt{3}$ см и $∠SAO = 60°$:

$H = 4\sqrt{3} \cdot tan(60°)$

Так как $tan(60°) = \sqrt{3}$, получаем:

$H = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: 12 см.