Страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Опишите, какой многогранник называют усечённой пирамидой.

1.

Усечённой пирамидой называют многогранник, который является частью пирамиды, заключённой между её основанием и секущей плоскостью, параллельной этому основанию.

Представьте, что мы берём пирамиду и отсекаем её верхушку плоскостью, которая параллельна основанию. Та часть, что останется между основанием и этой плоскостью, и есть усечённая пирамида.

Усечённая пирамида имеет следующие элементы:

Основания: у усечённой пирамиды их два — нижнее и верхнее. Нижнее основание — это основание исходной пирамиды. Верхнее основание — это многоугольник, который получился в сечении. Эти два основания являются подобными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях.

Боковые грани: это грани, которые соединяют соответствующие стороны оснований. У любой усечённой пирамиды боковые грани всегда являются трапециями.

Высота: это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого. Иными словами, это расстояние между плоскостями оснований.

Правильная усечённая пирамида: это усечённая пирамида, полученная из правильной пирамиды (у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в его центр). У такой пирамиды боковые грани — это равные между собой равнобедренные трапеции. Высота боковой грани (трапеции) правильной усечённой пирамиды называется апофемой.

Ответ: Усечённая пирамида — это многогранник, который образуется при пересечении пирамиды плоскостью, параллельной её основанию, и представляет собой часть пирамиды, расположенную между основанием и этой секущей плоскостью.

2. Опишите элементы усечённой пирамиды.

Усечённая пирамида — это многогранник, который образуется при пересечении пирамиды плоскостью, параллельной её основанию, и отсечении получившейся меньшей пирамиды. Элементы усечённой пирамиды включают:

Основания

Усечённая пирамида имеет два основания. Это многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях. То основание, которое принадлежало исходной полной пирамиде, называется нижним основанием. Основание, полученное в результате сечения, называется верхним основанием. Основания усечённой пирамиды являются подобными друг другу многоугольниками.

Ответ: Основания — это два подобных многоугольника (верхнее и нижнее), лежащие в параллельных плоскостях, которые ограничивают усечённую пирамиду.

Боковые грани

Боковыми гранями усечённой пирамиды являются трапеции. Каждая боковая грань соединяет одну сторону нижнего основания с соответствующей ей стороной верхнего основания. Общее число боковых граней равно числу сторон многоугольника в основании.

Ответ: Боковые грани — это трапеции, заключённые между основаниями усечённой пирамиды.

Боковые рёбра

Боковые рёбра — это отрезки, соединяющие соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. В правильной усечённой пирамиде все боковые рёбра имеют одинаковую длину.

Ответ: Боковые рёбра — это отрезки, соединяющие соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований.

Высота

Высотой усечённой пирамиды (обозначается как $h$) называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к плоскости другого основания. Иными словами, это расстояние между плоскостями её оснований.

Ответ: Высота ($h$) — это расстояние между плоскостями оснований усечённой пирамиды.

Апофема

Это понятие определяется для правильной усечённой пирамиды (пирамиды, у которой в основаниях лежат правильные многоугольники, а отрезок, соединяющий их центры, является высотой). Апофемой (обозначается как $a$) правильной усечённой пирамиды называется высота её боковой грани (которая является равнобокой трапецией).

Ответ: Апофема ($a$) — это высота боковой грани правильной усечённой пирамиды.

Диагональ

Диагональю усечённой пирамиды называется отрезок, соединяющий две её вершины, не лежащие на одной грани. Диагонали могут соединять вершины разных оснований или вершины одного основания (в этом случае они называются диагоналями основания).

Ответ: Диагональ — это отрезок, соединяющий две вершины пирамиды, которые не принадлежат одной и той же грани.

... элементы усеченной пирамиды.

3. Какую усечённую пирамиду называют правильной?

3. Усечённая пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды, отсечённой плоскостью, параллельной её основанию.

Это означает, что правильная усечённая пирамида обладает следующими ключевыми свойствами:

• Основаниями являются два подобных правильных многоугольника (например, два квадрата или два равносторонних треугольника), которые лежат в параллельных плоскостях.
• Боковые грани — это равные между собой равнобедренные трапеции.
• Высота правильной усечённой пирамиды — это отрезок, соединяющий центры её оснований.

Таким образом, для того чтобы усечённая пирамида была правильной, исходная пирамида, из которой она получена, должна быть правильной (т.е. иметь в основании правильный многоугольник, а вершина должна проецироваться в центр этого основания).

Ответ: Правильной называют усечённую пирамиду, которая получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной её основанию.

4. Что называют апофемой правильной усеченной пирамиды?

Апофемой правильной усечённой пирамиды называется высота её боковой грани.

Для более полного понимания: правильная усечённая пирамида — это часть правильной пирамиды, заключённая между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Боковыми гранями такой пирамиды являются равные между собой равнобедренные трапеции. Высота любой из этих трапеций и есть апофема. Все апофемы правильной усечённой пирамиды равны.

Ответ: Апофема правильной усечённой пирамиды — это высота её боковой грани.

5. Что называют площадью боковой поверхности усечённой пирамиды?

Усечённая пирамида — это многогранник, который образуется, когда от пирамиды отсекают её верхнюю часть плоскостью, параллельной основанию. Боковая поверхность усечённой пирамиды состоит из боковых граней, которые являются трапециями.

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называют сумму площадей всех её боковых граней.

Для нахождения этой площади в общем случае (для произвольной усечённой пирамиды) нужно вычислить площадь каждой боковой грани-трапеции и затем сложить эти площади:
$S_{бок} = S_1 + S_2 + \dots + S_n$ , где $S_i$ — площадь i-ой боковой грани.

Для правильной усечённой пирамиды, у которой основаниями являются правильные многоугольники, а боковые грани — равные между собой равнобедренные трапеции, существует более простая формула для вычисления:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$
Здесь:
$P_1$ — периметр нижнего (большего) основания;
$P_2$ — периметр верхнего (меньшего) основания;
$l$ — апофема усечённой пирамиды (то есть высота её боковой грани).

Ответ: Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называют сумму площадей всех её боковых граней.

6. Чему равна площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды?

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна сумме площадей всех её боковых граней. Поскольку пирамида является правильной, её боковые грани — это равные между собой равнобедренные трапеции.

Для вычисления площади введём следующие обозначения: $P_1$ — периметр нижнего основания; $P_2$ — периметр верхнего основания; $h_a$ — апофема усечённой пирамиды, то есть высота её боковой грани (трапеции).

Площадь одной такой трапеции со сторонами оснований $a_1$ и $a_2$ (которые являются сторонами многоугольников в основаниях пирамиды) и высотой $h_a$ вычисляется как $S_{грани} = \frac{a_1+a_2}{2} \cdot h_a$.

Если в основаниях пирамиды лежат правильные n-угольники, то боковая поверхность состоит из $n$ таких одинаковых трапеций. Следовательно, общая площадь боковой поверхности равна произведению площади одной грани на их количество:

$S_{бок} = n \cdot S_{грани} = n \cdot \frac{a_1+a_2}{2} \cdot h_a = \frac{n \cdot a_1 + n \cdot a_2}{2} \cdot h_a$.

Учитывая, что периметр нижнего основания $P_1 = n \cdot a_1$ и периметр верхнего основания $P_2 = n \cdot a_2$, мы можем подставить эти выражения в формулу:

$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a$.

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему.

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований, а $h_a$ – апофема (высота боковой грани).

19.1. Площадь боковой поверхности правильной усечённой шестиугольной пирамиды равна $540 \text{ см}^2$. Найдите стороны оснований пирамиды, если они относятся как $2 : 3$, а апофема равна $9 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h$ — апофема (высота боковой грани).

По условию задачи, основаниями являются правильные шестиугольники. Пусть сторона меньшего основания равна $a_1$, а большего — $a_2$. Их отношение $a_1 : a_2 = 2 : 3$. Введём коэффициент пропорциональности $x$, тогда $a_1 = 2x$, а $a_2 = 3x$.

Периметры оснований, как периметры правильных шестиугольников, равны:

Периметр меньшего основания: $P_1 = 6 \cdot a_1 = 6 \cdot 2x = 12x$.

Периметр большего основания: $P_2 = 6 \cdot a_2 = 6 \cdot 3x = 18x$.

Известно, что площадь боковой поверхности $S_{бок} = 540$ см², а апофема $h = 9$ см. Подставим все известные значения в формулу площади боковой поверхности:

$540 = \frac{1}{2}(12x + 18x) \cdot 9$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$540 = \frac{1}{2}(30x) \cdot 9$

$540 = 15x \cdot 9$

$540 = 135x$

$x = \frac{540}{135}$

$x = 4$

Теперь, зная значение коэффициента пропорциональности, найдём длины сторон оснований:

Сторона меньшего основания: $a_1 = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Сторона большего основания: $a_2 = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Ответ: 8 см и 12 см.

19.2. Найдите апофему правильной усеченной пятиугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 10 см, а площадь боковой поверхности – $280 \text{ см}^2$.

19.2.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot h_a$,
где $S_{бок}$ – площадь боковой поверхности, $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований, а $h_a$ – апофема усеченной пирамиды (то есть высота ее боковой грани).

По условию задачи, у нас правильная усеченная пятиугольная пирамида. Это значит, что в основаниях лежат правильные пятиугольники.

1. Найдем периметр нижнего основания ($P_1$). Сторона нижнего основания $a_1 = 10$ см.
$P_1 = 5 \cdot a_1 = 5 \cdot 10 = 50$ см.

2. Найдем периметр верхнего основания ($P_2$). Сторона верхнего основания $a_2 = 6$ см.
$P_2 = 5 \cdot a_2 = 5 \cdot 6 = 30$ см.

3. Площадь боковой поверхности дана в условии: $S_{бок} = 280$ см². Подставим все известные значения в формулу площади боковой поверхности, чтобы найти апофему $h_a$.
$280 = \frac{1}{2} (50 + 30) \cdot h_a$

4. Решим полученное уравнение:
$280 = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot h_a$
$280 = 40 \cdot h_a$
$h_a = \frac{280}{40}$
$h_a = 7$ см.

Ответ: 7 см.

19.3. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 12 см и 18 см, а двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$,

где $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований, а $h_a$ – апофема (высота боковой грани).

1. Нахождение периметров оснований

Основания пирамиды – правильные треугольники.
Сторона большего основания $a_1 = 18$ см. Его периметр:
$P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 18 = 54$ см.
Сторона меньшего основания $a_2 = 12$ см. Его периметр:
$P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 12 = 36$ см.

2. Нахождение апофемы усечённой пирамиды

Для нахождения апофемы $h_a$ рассмотрим прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является апофема $h_a$, а катетами – высота усечённой пирамиды $H$ и разность радиусов вписанных в основания окружностей ($r_1 - r_2$). Двугранный угол при ребре большего основания – это угол между апофемой $h_a$ и плоскостью основания, который в данном треугольнике является углом между гипотенузой $h_a$ и катетом ($r_1 - r_2$). Этот угол равен $45^\circ$.

Сначала найдём радиусы вписанных окружностей. Формула радиуса для правильного треугольника со стороной $a$: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Радиус для большего основания: $r_1 = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}$ см.
Радиус для меньшего основания: $r_2 = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}$ см.

Разность радиусов:
$r_1 - r_2 = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь из соотношения в прямоугольном треугольнике найдём апофему:
$\cos(45^\circ) = \frac{r_1 - r_2}{h_a}$
$h_a = \frac{r_1 - r_2}{\cos(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности

Подставим найденные значения периметров и апофемы в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a = \frac{1}{2}(54 + 36) \cdot \sqrt{6}$
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot \sqrt{6} = 45\sqrt{6}$ см$^2$.

Ответ: $45\sqrt{6}$ см$^2$.