Номер 6, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 19. Усечённая пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 6, страница 173.

Условие.

6. Чему равна площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды?

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна сумме площадей всех её боковых граней. Поскольку пирамида является правильной, её боковые грани — это равные между собой равнобедренные трапеции.

Для вычисления площади введём следующие обозначения: $P_1$ — периметр нижнего основания; $P_2$ — периметр верхнего основания; $h_a$ — апофема усечённой пирамиды, то есть высота её боковой грани (трапеции).

Площадь одной такой трапеции со сторонами оснований $a_1$ и $a_2$ (которые являются сторонами многоугольников в основаниях пирамиды) и высотой $h_a$ вычисляется как $S_{грани} = \frac{a_1+a_2}{2} \cdot h_a$.

Если в основаниях пирамиды лежат правильные n-угольники, то боковая поверхность состоит из $n$ таких одинаковых трапеций. Следовательно, общая площадь боковой поверхности равна произведению площади одной грани на их количество:

$S_{бок} = n \cdot S_{грани} = n \cdot \frac{a_1+a_2}{2} \cdot h_a = \frac{n \cdot a_1 + n \cdot a_2}{2} \cdot h_a$.

Учитывая, что периметр нижнего основания $P_1 = n \cdot a_1$ и периметр верхнего основания $P_2 = n \cdot a_2$, мы можем подставить эти выражения в формулу:

$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a$.

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему.

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований, а $h_a$ – апофема (высота боковой грани).