Номер 1, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Усечённая пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 1, страница 173.

Условие.

19.1. Площадь боковой поверхности правильной усечённой шестиугольной пирамиды равна $540 \text{ см}^2$. Найдите стороны оснований пирамиды, если они относятся как $2 : 3$, а апофема равна $9 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h$ — апофема (высота боковой грани).

По условию задачи, основаниями являются правильные шестиугольники. Пусть сторона меньшего основания равна $a_1$, а большего — $a_2$. Их отношение $a_1 : a_2 = 2 : 3$. Введём коэффициент пропорциональности $x$, тогда $a_1 = 2x$, а $a_2 = 3x$.

Периметры оснований, как периметры правильных шестиугольников, равны:

Периметр меньшего основания: $P_1 = 6 \cdot a_1 = 6 \cdot 2x = 12x$.

Периметр большего основания: $P_2 = 6 \cdot a_2 = 6 \cdot 3x = 18x$.

Известно, что площадь боковой поверхности $S_{бок} = 540$ см², а апофема $h = 9$ см. Подставим все известные значения в формулу площади боковой поверхности:

$540 = \frac{1}{2}(12x + 18x) \cdot 9$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$540 = \frac{1}{2}(30x) \cdot 9$

$540 = 15x \cdot 9$

$540 = 135x$

$x = \frac{540}{135}$

$x = 4$

Теперь, зная значение коэффициента пропорциональности, найдём длины сторон оснований:

Сторона меньшего основания: $a_1 = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Сторона большего основания: $a_2 = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Ответ: 8 см и 12 см.