Номер 8, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Усечённая пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 8, страница 174.

Условие.

19.8. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 6 см и 12 см, а площадь боковой поверхности – 54 $см^2$. Найдите высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a_1$ и $a_2$ — стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды, $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, $h_a$ — апофема (высота боковой грани), $H$ — высота пирамиды.

По условию задачи:
Сторона большего основания $a_1 = 12$ см.
Сторона меньшего основания $a_2 = 6$ см.
Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 54$ см$^2$.

1. Найдём апофему пирамиды $h_a$.
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$
где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований. Так как основания — правильные треугольники, их периметры равны:
$P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 12 = 36$ см.
$P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 6 = 18$ см.
Подставим известные значения в формулу площади боковой поверхности:
$54 = \frac{1}{2}(36 + 18) \cdot h_a$
$54 = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot h_a$
$54 = 27 \cdot h_a$
$h_a = \frac{54}{27} = 2$ см.

2. Найдём высоту пирамиды $H$.
Высоту пирамиды можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и разностью радиусов вписанных в основания окружностей ($r_1 - r_2$). В этом треугольнике $h_a$ является гипотенузой, а $H$ и $(r_1 - r_2)$ — катетами.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
Найдём радиусы для наших оснований:
$r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
$r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора:
$H^2 + (r_1 - r_2)^2 = h_a^2$
$H^2 + (2\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = 2^2$
$H^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$
$H^2 + 3 = 4$
$H^2 = 4 - 3$
$H^2 = 1$
$H = \sqrt{1} = 1$ см.

Ответ: 1 см.