Номер 10, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Усечённая пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 10, страница 174.

Условие.

19.10. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны 8 см и 6 см, а высота пирамиды – $3\sqrt{3}$ см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $AC$ и точку $B_1$.

Решение 1.

Решение 3.

Построение и анализ сечения

По условию, дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что её основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются квадратами, а центры оснований лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскостям оснований (оси пирамиды). Боковые грани пирамиды — равные равнобедренные трапеции.

Секущая плоскость проходит через прямую $AC$ (диагональ нижнего основания) и точку $B_1$ (вершина верхнего основания). Вершинами сечения являются точки $A$, $C$ и $B_1$. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $AB_1C$.

Поскольку пирамида правильная, боковые грани $AA_1B_1B$ и $CC_1B_1B$ — это равные трапеции. Следовательно, их диагонали $AB_1$ и $CB_1$ равны между собой. Из равенства $AB_1 = CB_1$ следует, что треугольник $AB_1C$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Для нахождения площади этого треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания выберем $AC$. Высотой, опущенной из вершины $B_1$ на основание $AC$, будет отрезок $B_1O$, где $O$ — середина диагонали $AC$. Точка $O$ также является центром нижнего основания $ABCD$.

Расчёт длины основания сечения AC

Нижнее основание $ABCD$ — это квадрат со стороной $a = 8$ см. Диагональ $AC$ найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Расчёт высоты сечения $B_1O$

Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований соответственно. Отрезок $OO_1$ является высотой усечённой пирамиды, и по условию $OO_1 = h = 3\sqrt{3}$ см. Поскольку высота пирамиды перпендикулярна её основаниям, то $OO_1 \perp O_1B_1$. Следовательно, треугольник $B_1O_1O$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$.

Катет $O_1B_1$ — это половина диагонали верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Верхнее основание — квадрат со стороной $b = 6$ см. Его диагональ $B_1D_1$ равна:

$B_1D_1 = \sqrt{B_1C_1^2 + C_1D_1^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Тогда длина катета $O_1B_1$ равна:

$O_1B_1 = \frac{1}{2} B_1D_1 = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $B_1O_1O$ найдём гипотенузу $B_1O$, которая является высотой сечения:

$B_1O^2 = OO_1^2 + O_1B_1^2 = (3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2 = (9 \cdot 3) + (9 \cdot 2) = 27 + 18 = 45$.

$B_1O = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Расчёт площади сечения

Теперь, зная длину основания $AC$ и высоту $B_1O$ треугольника $AB_1C$, мы можем вычислить его площадь:

$S_{AB_1C} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot B_1O = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{5} = 4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{5} = 12\sqrt{10}$ см².

Ответ: $12\sqrt{10}$ см².