Номер 9, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Усечённая пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 9, страница 174.

Условие.

19.9. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды $ABC A_1 B_1 C_1$ равны 8 см и 5 см, а высота пирамиды $-$ 3 см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $AB$ и точку $C_1$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная усечённая пирамида $ABCA_1B_1C_1$. Основаниями пирамиды являются правильные треугольники $ABC$ (нижнее) и $A_1B_1C_1$ (верхнее). По условию, стороны оснований равны $AB = 8$ см и $A_1B_1 = 5$ см, а высота пирамиды $H = 3$ см.

Секущая плоскость проходит через прямую $AB$ и точку $C_1$. Эта плоскость пересекает пирамиду, образуя сечение. Вершинами этого сечения являются точки $A$, $B$ и $C_1$. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $ABC_1$.

Для нахождения площади треугольника $ABC_1$ воспользуемся формулой: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Примем сторону $AB$ за основание треугольника. Её длина известна: $AB = 8$ см.

Высотой треугольника $ABC_1$ является перпендикуляр, опущенный из вершины $C_1$ на прямую $AB$. Пусть $M$ — середина ребра $AB$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $CM$ также является высотой, следовательно, $CM \perp AB$.

Докажем, что отрезок $C_1M$ является высотой треугольника $ABC_1$, то есть $C_1M \perp AB$.

Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований соответственно. Тогда $OO_1$ — высота усеченной пирамиды, $OO_1 = H = 3$ см. Спроектируем точку $C_1$ на плоскость нижнего основания $(ABC)$. Так как пирамида правильная, проекция центра $O_1$ совпадает с центром $O$. Проекция $P$ точки $C_1$ будет лежать на отрезке $OC$, который является частью медианы $CM$.

Таким образом, проекцией наклонной $C_1M$ на плоскость $(ABC)$ является отрезок $PM$. Так как отрезок $PM$ лежит на прямой $CM$, а $CM \perp AB$, то и $PM \perp AB$. По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна некоторой прямой в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $C_1M \perp AB$, и $C_1M$ — искомая высота треугольника $ABC_1$.

Для вычисления длины $C_1M$ рассмотрим прямоугольный треугольник $C_1PM$, в котором $\angle C_1PM = 90^\circ$. По теореме Пифагора $C_1M^2 = C_1P^2 + PM^2$.

• Катет $C_1P$ равен высоте пирамиды: $C_1P = H = 3$ см.
• Катет $PM$ найдём как сумму длин отрезков $PO$ и $OM$. Точки $P$, $O$, $M$ лежат на одной прямой.

Отрезок $OM$ — это радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Для правильного треугольника со стороной $a$ он равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.$OM = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см.

Расстояние $PO$ от центра основания $O$ до проекции точки $C_1$ равно расстоянию от центра верхнего основания $O_1$ до вершины $C_1$. Это радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C_1$. Для правильного треугольника со стороной $b$ он равен $R = \frac{b}{\sqrt{3}}$.$PO = O_1C_1 = \frac{5}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь найдем длину отрезка $PM$:$PM = PO + OM = \frac{5}{\sqrt{3}} + \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Подставим найденные значения в формулу теоремы Пифагора для треугольника $C_1PM$:$C_1M^2 = C_1P^2 + PM^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 9 \cdot 3 = 9 + 27 = 36$.$C_1M = \sqrt{36} = 6$ см.

Наконец, вычислим площадь сечения — треугольника $ABC_1$:$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см$^2$.

Ответ: $24 \text{ см}^2$.