Страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.4. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 6 см и 9 см, а двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований, а $h_a$ – апофема (высота боковой грани).

В данной задаче мы имеем правильную четырёхугольную усечённую пирамиду, основаниями которой являются квадраты. Стороны оснований равны $a_1 = 9$ см и $a_2 = 6$ см. Двугранный угол при ребре большего основания равен $60^\circ$.

1. Найдём периметры оснований

Поскольку основания являются квадратами, их периметры равны:

Периметр большего основания: $P_1 = 4 \cdot a_1 = 4 \cdot 9 = 36$ см.

Периметр меньшего основания: $P_2 = 4 \cdot a_2 = 4 \cdot 6 = 24$ см.

2. Найдём апофему усечённой пирамиды

Апофема $h_a$ – это высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией). Двугранный угол при ребре большего основания – это угол наклона боковой грани к плоскости этого основания. По условию он равен $60^\circ$.

Для нахождения апофемы рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофемы двух противоположных боковых граней. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, у которой основания равны сторонам оснований пирамиды ($a_1$ и $a_2$), а боковые стороны – это апофемы ($h_a$). Угол при большем основании этой трапеции равен заданному двугранному углу $60^\circ$.

Проведём высоту в этой трапеции из вершины меньшего основания на большее. Мы получим прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза – это апофема $h_a$;
• катет, прилежащий к углу $60^\circ$, равен полуразности оснований трапеции: $\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{9 - 6}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$ см;
• острый угол равен $60^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos(60^\circ) = \frac{(a_1 - a_2)/2}{h_a}$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{2} = \frac{1,5}{h_a}$

Отсюда находим апофему:

$h_a = 1,5 \cdot 2 = 3$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности

Теперь, зная периметры оснований и апофему, мы можем вычислить площадь боковой поверхности по формуле:

$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a = \frac{36 + 24}{2} \cdot 3 = \frac{60}{2} \cdot 3 = 30 \cdot 3 = 90$ см$^2$.

Ответ: $90$ см$^2$.

19.5. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 6 см и 10 см, а высота пирамиды – 4 см. Найдите:

1) диагональ усечённой пирамиды;

2) площадь сечения, проходящего через боковые рёбра, не принадлежащие одной грани;

3) площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

1) диагональ усечённой пирамиды

Пусть $a_1$ — сторона нижнего основания, $a_2$ — сторона верхнего основания, $h$ — высота усечённой пирамиды. По условию, $a_1 = 10$ см, $a_2 = 6$ см, $h = 4$ см.

Диагональ усечённой пирамиды можно найти, рассмотрев её диагональное сечение. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, основаниями которой являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а высотой — высота самой пирамиды $h$.

Сначала найдём длины диагоналей оснований. Так как основания — квадраты, их диагонали равны:

• Диагональ нижнего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.
• Диагональ верхнего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является диагональ усечённой пирамиды $D$. Одним катетом этого треугольника является высота пирамиды $h=4$ см. Другой катет — это проекция диагонали на плоскость нижнего основания. Длина этой проекции равна сумме полудиагонали нижнего основания и проекции полудиагонали верхнего основания. Проекция полудиагонали верхнего основания равна самой полудиагонали, так как пирамида правильная. Таким образом, длина второго катета равна:

$\frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} + \frac{6\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

По теореме Пифагора найдём диагональ $D$:

$D^2 = h^2 + (8\sqrt{2})^2 = 4^2 + 64 \cdot 2 = 16 + 128 = 144$

$D = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

2) площадь сечения, проходящего через боковые рёбра, не принадлежащие одной грани

Такое сечение является диагональным сечением, которое мы рассматривали в предыдущем пункте. Это равнобокая трапеция, основаниями которой являются диагонали оснований пирамиды $d_1 = 10\sqrt{2}$ см и $d_2 = 6\sqrt{2}$ см, а высота равна высоте пирамиды $h = 4$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$

Подставим известные значения:

$S_{сеч} = \frac{10\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{2} \cdot 4 = \frac{16\sqrt{2}}{2} \cdot 4 = 8\sqrt{2} \cdot 4 = 32\sqrt{2}$ см².

Ответ: $32\sqrt{2}$ см².

3) площадь боковой поверхности усечённой пирамиды

Боковая поверхность правильной усечённой четырёхугольной пирамиды состоит из четырёх одинаковых равнобоких трапеций. Площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot l$

где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

1. Найдём периметры оснований:

• Периметр нижнего основания: $P_1 = 4 \cdot a_1 = 4 \cdot 10 = 40$ см.
• Периметр верхнего основания: $P_2 = 4 \cdot a_2 = 4 \cdot 6 = 24$ см.

2. Найдём апофему $l$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, апофемой $l$ (в качестве гипотенузы) и отрезком на нижнем основании, равным полуразности полусторон оснований. Проще говоря, катетами являются высота $h$ и отрезок, равный $\frac{a_1 - a_2}{2}$.

Длина этого отрезка: $\frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$

$l = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

3. Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{40 + 24}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \frac{64}{2} \cdot 2\sqrt{5} = 32 \cdot 2\sqrt{5} = 64\sqrt{5}$ см².

Ответ: $64\sqrt{5}$ см².

19.6. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 15 см и 27 см, а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $30^\circ$. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

19.7. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 24 см и 30 см, а боковые ребра – 4 см. Найдите высоту пирамиды.

Пусть $a_1 = 30$ см и $a_2 = 24$ см — стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды, а $l = 4$ см — длина её бокового ребра. Необходимо найти высоту пирамиды $h$.

Высоту пирамиды можно найти из прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является боковое ребро $l$, а катетами — высота пирамиды $h$ и проекция бокового ребра на плоскость большего основания. Длина этой проекции для правильной усеченной пирамиды равна разности радиусов $R_1$ и $R_2$ окружностей, описанных около оснований.

Сначала найдем радиусы этих окружностей. Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, находится по формуле $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Для большего основания со стороной $a_1 = 30$ см, радиус равен: $R_1 = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$ см.

Для меньшего основания со стороной $a_2 = 24$ см, радиус равен: $R_2 = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем длину проекции бокового ребра на плоскость основания как разность радиусов: $R_1 - R_2 = 10\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$. Подставим известные значения и решим уравнение относительно $h$: $4^2 = h^2 + (2\sqrt{3})^2$ $16 = h^2 + 4 \cdot 3$ $16 = h^2 + 12$ $h^2 = 16 - 12$ $h^2 = 4$ $h = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

19.8. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 6 см и 12 см, а площадь боковой поверхности – 54 $см^2$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть $a_1$ и $a_2$ — стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды, $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, $h_a$ — апофема (высота боковой грани), $H$ — высота пирамиды.

По условию задачи:
Сторона большего основания $a_1 = 12$ см.
Сторона меньшего основания $a_2 = 6$ см.
Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 54$ см$^2$.

1. Найдём апофему пирамиды $h_a$.
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$
где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований. Так как основания — правильные треугольники, их периметры равны:
$P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 12 = 36$ см.
$P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 6 = 18$ см.
Подставим известные значения в формулу площади боковой поверхности:
$54 = \frac{1}{2}(36 + 18) \cdot h_a$
$54 = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot h_a$
$54 = 27 \cdot h_a$
$h_a = \frac{54}{27} = 2$ см.

2. Найдём высоту пирамиды $H$.
Высоту пирамиды можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и разностью радиусов вписанных в основания окружностей ($r_1 - r_2$). В этом треугольнике $h_a$ является гипотенузой, а $H$ и $(r_1 - r_2)$ — катетами.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
Найдём радиусы для наших оснований:
$r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
$r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора:
$H^2 + (r_1 - r_2)^2 = h_a^2$
$H^2 + (2\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = 2^2$
$H^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$
$H^2 + 3 = 4$
$H^2 = 4 - 3$
$H^2 = 1$
$H = \sqrt{1} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

19.9. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды $ABC A_1 B_1 C_1$ равны 8 см и 5 см, а высота пирамиды $-$ 3 см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $AB$ и точку $C_1$.

Пусть дана правильная треугольная усечённая пирамида $ABCA_1B_1C_1$. Основаниями пирамиды являются правильные треугольники $ABC$ (нижнее) и $A_1B_1C_1$ (верхнее). По условию, стороны оснований равны $AB = 8$ см и $A_1B_1 = 5$ см, а высота пирамиды $H = 3$ см.

Секущая плоскость проходит через прямую $AB$ и точку $C_1$. Эта плоскость пересекает пирамиду, образуя сечение. Вершинами этого сечения являются точки $A$, $B$ и $C_1$. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $ABC_1$.

Для нахождения площади треугольника $ABC_1$ воспользуемся формулой: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Примем сторону $AB$ за основание треугольника. Её длина известна: $AB = 8$ см.

Высотой треугольника $ABC_1$ является перпендикуляр, опущенный из вершины $C_1$ на прямую $AB$. Пусть $M$ — середина ребра $AB$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $CM$ также является высотой, следовательно, $CM \perp AB$.

Докажем, что отрезок $C_1M$ является высотой треугольника $ABC_1$, то есть $C_1M \perp AB$.

Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований соответственно. Тогда $OO_1$ — высота усеченной пирамиды, $OO_1 = H = 3$ см. Спроектируем точку $C_1$ на плоскость нижнего основания $(ABC)$. Так как пирамида правильная, проекция центра $O_1$ совпадает с центром $O$. Проекция $P$ точки $C_1$ будет лежать на отрезке $OC$, который является частью медианы $CM$.

Таким образом, проекцией наклонной $C_1M$ на плоскость $(ABC)$ является отрезок $PM$. Так как отрезок $PM$ лежит на прямой $CM$, а $CM \perp AB$, то и $PM \perp AB$. По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна некоторой прямой в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $C_1M \perp AB$, и $C_1M$ — искомая высота треугольника $ABC_1$.

Для вычисления длины $C_1M$ рассмотрим прямоугольный треугольник $C_1PM$, в котором $\angle C_1PM = 90^\circ$. По теореме Пифагора $C_1M^2 = C_1P^2 + PM^2$.

• Катет $C_1P$ равен высоте пирамиды: $C_1P = H = 3$ см.
• Катет $PM$ найдём как сумму длин отрезков $PO$ и $OM$. Точки $P$, $O$, $M$ лежат на одной прямой.

Отрезок $OM$ — это радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Для правильного треугольника со стороной $a$ он равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.$OM = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см.

Расстояние $PO$ от центра основания $O$ до проекции точки $C_1$ равно расстоянию от центра верхнего основания $O_1$ до вершины $C_1$. Это радиус окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C_1$. Для правильного треугольника со стороной $b$ он равен $R = \frac{b}{\sqrt{3}}$.$PO = O_1C_1 = \frac{5}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь найдем длину отрезка $PM$:$PM = PO + OM = \frac{5}{\sqrt{3}} + \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Подставим найденные значения в формулу теоремы Пифагора для треугольника $C_1PM$:$C_1M^2 = C_1P^2 + PM^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 9 \cdot 3 = 9 + 27 = 36$.$C_1M = \sqrt{36} = 6$ см.

Наконец, вычислим площадь сечения — треугольника $ABC_1$:$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см$^2$.

Ответ: $24 \text{ см}^2$.

19.10. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны 8 см и 6 см, а высота пирамиды – $3\sqrt{3}$ см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $AC$ и точку $B_1$.

Построение и анализ сечения

По условию, дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что её основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются квадратами, а центры оснований лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскостям оснований (оси пирамиды). Боковые грани пирамиды — равные равнобедренные трапеции.

Секущая плоскость проходит через прямую $AC$ (диагональ нижнего основания) и точку $B_1$ (вершина верхнего основания). Вершинами сечения являются точки $A$, $C$ и $B_1$. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $AB_1C$.

Поскольку пирамида правильная, боковые грани $AA_1B_1B$ и $CC_1B_1B$ — это равные трапеции. Следовательно, их диагонали $AB_1$ и $CB_1$ равны между собой. Из равенства $AB_1 = CB_1$ следует, что треугольник $AB_1C$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Для нахождения площади этого треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания выберем $AC$. Высотой, опущенной из вершины $B_1$ на основание $AC$, будет отрезок $B_1O$, где $O$ — середина диагонали $AC$. Точка $O$ также является центром нижнего основания $ABCD$.

Расчёт длины основания сечения AC

Нижнее основание $ABCD$ — это квадрат со стороной $a = 8$ см. Диагональ $AC$ найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Расчёт высоты сечения $B_1O$

Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований соответственно. Отрезок $OO_1$ является высотой усечённой пирамиды, и по условию $OO_1 = h = 3\sqrt{3}$ см. Поскольку высота пирамиды перпендикулярна её основаниям, то $OO_1 \perp O_1B_1$. Следовательно, треугольник $B_1O_1O$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$.

Катет $O_1B_1$ — это половина диагонали верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Верхнее основание — квадрат со стороной $b = 6$ см. Его диагональ $B_1D_1$ равна:

$B_1D_1 = \sqrt{B_1C_1^2 + C_1D_1^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Тогда длина катета $O_1B_1$ равна:

$O_1B_1 = \frac{1}{2} B_1D_1 = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $B_1O_1O$ найдём гипотенузу $B_1O$, которая является высотой сечения:

$B_1O^2 = OO_1^2 + O_1B_1^2 = (3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2 = (9 \cdot 3) + (9 \cdot 2) = 27 + 18 = 45$.

$B_1O = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Расчёт площади сечения

Теперь, зная длину основания $AC$ и высоту $B_1O$ треугольника $AB_1C$, мы можем вычислить его площадь:

$S_{AB_1C} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot B_1O = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{5} = 4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{5} = 12\sqrt{10}$ см².

Ответ: $12\sqrt{10}$ см².

19.11. Боковое ребро $BB_1$ усечённой пирамиды $ABCA_1B_1C_1$ перпендикулярно плоскости основания, $BB_1 = 4$ см, $AB = BC = 16$ см, $A_1B_1 = B_1C_1 = 10$ см, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды $ABCA_1B_1C_1$ равна сумме площадей ее боковых граней. Боковыми гранями являются трапеции $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $ACC_1A_1$.

1. Найдем площади граней $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$

По условию, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$. Следовательно, $BB_1 \perp AB$ и $BB_1 \perp BC$.

Поскольку плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, ребро $BB_1$ также перпендикулярно прямым $A_1B_1$ и $B_1C_1$.

Таким образом, грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ являются прямоугольными трапециями, где $BB_1$ — их высота.

Дано: $AB = BC = 16$ см, $A_1B_1 = B_1C_1 = 10$ см, $BB_1 = 4$ см.

Площадь трапеции $ABB_1A_1$ вычисляется по формуле:

$S_{ABB_1A_1} = \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot BB_1 = \frac{16 + 10}{2} \cdot 4 = \frac{26}{2} \cdot 4 = 13 \cdot 4 = 52$ см².

Аналогично, площадь трапеции $BCC_1B_1$:

$S_{BCC_1B_1} = \frac{BC + B_1C_1}{2} \cdot BB_1 = \frac{16 + 10}{2} \cdot 4 = \frac{26}{2} \cdot 4 = 13 \cdot 4 = 52$ см².

2. Найдем площадь грани $ACC_1A_1$

Грань $ACC_1A_1$ является трапецией с основаниями $AC$ и $A_1C_1$.

Найдем длины оснований $AC$ и $A_1C_1$ с помощью теоремы косинусов для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно.

В треугольнике $\triangle ABC$ ($AB = BC = 16$, $\angle ABC = 120^\circ$):

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos(120^\circ) = 256 + 256 - 512 \cdot (-\frac{1}{2}) = 512 + 256 = 768$

$AC = \sqrt{768} = \sqrt{256 \cdot 3} = 16\sqrt{3}$ см.

Треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $\triangle ABC$, поэтому $\angle A_1B_1C_1 = \angle ABC = 120^\circ$.

В треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$ ($A_1B_1 = B_1C_1 = 10$):

$A_1C_1^2 = A_1B_1^2 + B_1C_1^2 - 2 \cdot A_1B_1 \cdot B_1C_1 \cdot \cos(\angle A_1B_1C_1)$

$A_1C_1^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ) = 100 + 100 - 200 \cdot (-\frac{1}{2}) = 200 + 100 = 300$

$A_1C_1 = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем длины боковых сторон трапеции $AA_1$ и $CC_1$. Рассмотрим прямоугольную трапецию $ABB_1A_1$. Проведем высоту $A_1H$ из точки $A_1$ на основание $AB$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle AHA_1$, где $A_1H = BB_1 = 4$ см, а $AH = AB - B_1H = AB - A_1B_1 = 16 - 10 = 6$ см. По теореме Пифагора:

$AA_1^2 = AH^2 + A_1H^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$

$AA_1 = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см.

Аналогично для трапеции $BCC_1B_1$ находим $CC_1 = 2\sqrt{13}$ см. Так как $AA_1 = CC_1$, трапеция $ACC_1A_1$ — равнобедренная.

Найдем высоту $h$ трапеции $ACC_1A_1$. Проведем высоты из вершин $A_1$ и $C_1$ на основание $AC$. Они отсекут на большем основании отрезок, равный $\frac{AC - A_1C_1}{2}$.

$\frac{16\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Высота $h$ является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — боковая сторона $AA_1$, а другой катет — найденный отрезок. По теореме Пифагора:

$h^2 = AA_1^2 - (3\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{13})^2 - 27 = 52 - 27 = 25$

$h = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь можем найти площадь трапеции $ACC_1A_1$:

$S_{ACC_1A_1} = \frac{AC + A_1C_1}{2} \cdot h = \frac{16\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = \frac{26\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = 13\sqrt{3} \cdot 5 = 65\sqrt{3}$ см².

3. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей боковых граней:

$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{ACC_1A_1} = 52 + 52 + 65\sqrt{3} = 104 + 65\sqrt{3}$ см².

Ответ: $104 + 65\sqrt{3}$ см².

19.12. Основания усечённой пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ являются квадратами, $AD = 4$ см, $A_1D_1 = 2$ см. Грань $AA_1B_1B$ является равнобокой трапецией, а её плоскость перпендикулярна плоскости основания. Угол между плоскостью грани $CC_1D_1D$ и плоскостью основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Рассмотрим усечённую пирамиду $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — квадраты со сторонами $a = AD = 4$ см и $b = A_1D_1 = 2$ см соответственно. Требуется найти площадь боковой поверхности $S_{бок}$, которая является суммой площадей четырёх боковых граней: $S_{бок} = S_{AA_1B_1B} + S_{BB_1C_1C} + S_{CC_1D_1D} + S_{DD_1A_1A}$.

Для удобства решения введём прямоугольную систему координат. Расположим нижнее основание в плоскости $Oxy$. Пусть вершина $D$ совпадает с началом координат $D(0,0,0)$, а вершины $A$ и $C$ лежат на осях $Oy$ и $Ox$ соответственно. Тогда координаты вершин нижнего основания: $D(0,0,0)$, $A(0,4,0)$, $C(4,0,0)$, $B(4,4,0)$.

Плоскость грани $AA_1B_1B$ перпендикулярна плоскости основания. Эта грань является равнобокой трапецией. Высота этой трапеции является высотой $h$ усечённой пирамиды. Пусть $A_1'$ и $B_1'$ — проекции вершин $A_1$ и $B_1$ на плоскость основания. Они лежат на прямой $AB$ (задаваемой уравнениями $y=4, z=0$). Так как трапеция равнобокая, $AA_1' = BB_1' = \frac{AB - A_1B_1}{2} = \frac{4-2}{2} = 1$ см. Координаты $A_1'$: $(1,4,0)$. Координаты $B_1'$: $(3,4,0)$. Тогда координаты вершин верхнего основания (на высоте $h$): $A_1(1,4,h)$, $B_1(3,4,h)$. Так как $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат, то $D_1(1,2,h)$ и $C_1(3,2,h)$.

Угол между плоскостью грани $CC_1D_1D$ и плоскостью основания равен $60^\circ$. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $CD$. Пусть $M$ — середина $CD$, $M(2,0,0)$. Пусть $M_1$ — середина $C_1D_1$, $M_1(2,2,h)$. Отрезок $MM_1$ является высотой (апофемой) трапеции $CC_1D_1D$. Проекцией точки $M_1$ на плоскость основания является точка $P(2,2,0)$. Угол $\angle M_1PM$ является линейным углом двугранного угла, то есть $\angle M_1PM = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle M_1PM$ катет $M_1P = h$, а катет $PM = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$ см. Тогда $h = M_1P = PM \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная высоту пирамиды $h=2\sqrt{3}$, можем найти площади боковых граней.

Площадь грани $AA_1B_1B$
Эта трапеция с основаниями 4 и 2. Её высота равна высоте пирамиды $h=2\sqrt{3}$.$S_{AA_1B_1B} = \frac{4+2}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь грани $CC_1D_1D$
Это трапеция с основаниями 4 и 2. Её высота (апофема) $h_{CD} = MM_1$. Из $\triangle M_1PM$: $h_{CD} = MM_1 = \frac{PM}{\cos(60^\circ)} = \frac{2}{1/2} = 4$ см.$S_{CC_1D_1D} = \frac{4+2}{2} \cdot 4 = 12$ см$^2$.

Площади граней $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$
В силу симметрии пирамиды относительно плоскости $x=2$, эти грани являются конгруэнтными трапециями с основаниями 4 и 2. Найдём высоту (апофему) $h_{AD}$ грани $ADD_1A_1$. Пусть $N$ — середина $AD$, $N(0,2,0)$. Пусть $N_1$ — середина $A_1D_1$, $N_1(1,3,h)$. Апофема $h_{AD} = N_1N = \sqrt{(1-0)^2 + (3-2)^2 + (h-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 1 + 12} = \sqrt{14}$ см.$S_{ADD_1A_1} = \frac{4+2}{2} \cdot \sqrt{14} = 3\sqrt{14}$ см$^2$. Следовательно, $S_{BCC_1B_1} = 3\sqrt{14}$ см$^2$.

Общая площадь боковой поверхности
Суммируем площади всех боковых граней:$S_{бок} = S_{AA_1B_1B} + S_{CC_1D_1D} + S_{ADD_1A_1} + S_{BCC_1B_1} = 6\sqrt{3} + 12 + 3\sqrt{14} + 3\sqrt{14} = 12 + 6\sqrt{3} + 6\sqrt{14}$ см$^2$.

Ответ: $(12 + 6\sqrt{3} + 6\sqrt{14})$ см$^2$.