Страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.7. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S и основанием ABCD. Так как пирамида правильная, её основание ABCD является квадратом, а высота SO опускается в центр этого квадрата (точку пересечения диагоналей O).

По условию, высота пирамиды $SO = 8$ см.

Углом между боковым ребром (например, SA) и плоскостью основания является угол между этим ребром и его проекцией на плоскость основания (отрезком OA). Таким образом, по условию угол $∠SAO = 45°$.

Рассмотрим треугольник $ΔSAO$. Он является прямоугольным, так как высота SO перпендикулярна плоскости основания, а значит и любой прямой в этой плоскости, т.е. $∠SOA = 90°$.

В прямоугольном треугольнике $ΔSAO$ нам известен катет $SO = 8$ см и прилежащий к нему острый угол $∠SAO = 45°$. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$, то второй острый угол $∠ASO = 90° - ∠SAO = 90° - 45° = 45°$.

Поскольку углы при основании SA равны ($∠SAO = ∠ASO = 45°$), треугольник $ΔSAO$ является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $OA = SO$.

Следовательно, $OA = 8$ см.

Точка O — это центр квадрата ABCD, поэтому отрезок OA является половиной диагонали AC. Длина всей диагонали равна $AC = 2 \cdot OA = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Пусть сторона основания (квадрата) ABCD равна $a$. Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. В нашем случае $d = AC$.

Получаем уравнение для нахождения стороны $a$:
$a\sqrt{2} = 16$
$a = \frac{16}{\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$a = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.

18.8. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, а высота пирамиды – 4 см. Найдите:

1) апофему пирамиды;

2) двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Основание $ABCD$ — это квадрат со стороной $a = 6$ см. Высота пирамиды $SO = H = 4$ см, где $O$ — центр квадрата (точка пересечения диагоналей).

Апофема правильной пирамиды — это высота её боковой грани. Проведём апофему $SM$ к стороне основания $BC$. Так как пирамида правильная, треугольник $SBC$ является равнобедренным, и точка $M$ — середина стороны $BC$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Он является прямоугольным, так как высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и $OM$.

В этом треугольнике:

• Катет $SO$ — это высота пирамиды, $SO = H = 4$ см.
• Катет $OM$ — это отрезок, соединяющий центр квадрата с серединой стороны. Его длина равна половине стороны квадрата: $OM = \frac{1}{2} \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
• Гипотенуза $SM$ — это искомая апофема.

По теореме Пифагора для треугольника $SOM$:
$SM^2 = SO^2 + OM^2$
$SM^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$SM = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

Двугранный угол при ребре основания $BC$ — это угол между плоскостью боковой грани $(SBC)$ и плоскостью основания $(ABC)$. Этот угол измеряется линейным углом, который образован двумя перпендикулярами к ребру $BC$, проведёнными в этих плоскостях из одной точки.

Из точки $M$ на ребре $BC$ у нас есть два таких перпендикуляра:

• $SM \perp BC$ (апофема в плоскости боковой грани).
• $OM \perp BC$ (отрезок, соединяющий центр квадрата с серединой стороны, в плоскости основания).

Следовательно, искомый двугранный угол — это угол $\angle SMO$ в прямоугольном треугольнике $SOM$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Для нахождения величины угла $\alpha$ воспользуемся тригонометрическими соотношениями в треугольнике $SOM$. Мы знаем длины всех его сторон: катет $SO = 4$ см, катет $OM = 3$ см, гипотенуза $SM = 5$ см.
Найдём тангенс этого угла:
$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{SO}{OM} = \frac{4}{3}$

Таким образом, сам угол равен арктангенсу этого значения.

Ответ: $\arctan(\frac{4}{3})$.

18.9. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2 см, а сторона основания – 6 см. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) двугранный угол пирамиды при ребре основания.

1) высоту пирамиды

Пусть дана правильная треугольная пирамида, в основании которой лежит равносторонний треугольник со стороной $a = 6$ см. Апофема пирамиды (высота боковой грани) равна $l = 2$ см.

Высота пирамиды $H$, апофема $l$ и радиус вписанной в основание окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза, а $H$ и $r$ — катеты.

Найдем радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника он вычисляется по формуле:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим известные значения:
$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем высоту пирамиды $H$:
$l^2 = H^2 + r^2$
$H^2 = l^2 - r^2$
$H^2 = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$
$H = \sqrt{1} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

2) двугранный угол пирамиды при ребре основания

Двугранный угол при ребре основания — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. В нашем случае это угол $\alpha$ в том же прямоугольном треугольнике, который образован высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой $l$. Этот угол лежит между апофемой (наклонной) и радиусом (ее проекцией на плоскость основания).

Мы можем найти этот угол, используя тригонометрические функции. Например, через косинус:
$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{r}{l}$

Подставим известные нам значения $r = \sqrt{3}$ см и $l = 2$ см:
$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда находим угол $\alpha$:
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

18.10. Сторона основания правильной семиугольной пирамиды равна 10 см, а её апофема – 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$

где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема пирамиды.

Основанием пирамиды является правильный семиугольник со стороной $a = 10$ см.

1. Найдем периметр основания.
Периметр правильного семиугольника равен произведению количества сторон на длину одной стороны: $P = 7 \cdot a = 7 \cdot 10 \text{ см} = 70 \text{ см}$.

2. Найдем площадь боковой поверхности.
Апофема пирамиды по условию равна $h_a = 20$ см. Подставим значения периметра и апофемы в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 70 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 35 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 700 \text{ см}^2$.

Ответ: $700 \text{ см}^2$.

18.11. Плоский угол при вершине правильной восьмиугольной пирамиды равен $30^\circ$, а боковое ребро – 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению количества боковых граней на площадь одной грани. В основании правильной восьмиугольной пирамиды лежит правильный восьмиугольник, следовательно, у пирамиды 8 боковых граней. Так как пирамида правильная, все ее боковые грани — это равные между собой равнобедренные треугольники.

Каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются боковыми ребрами пирамиды, а угол между ними — плоским углом при вершине.
По условию задачи:
Боковое ребро $l = 2$ см.
Плоский угол при вершине $\alpha = 30^\circ$.

Площадь одной такой боковой грани (треугольника), обозначим ее $S_{грани}$, можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$
В нашем случае $a = b = l = 2$ см, а $\gamma = \alpha = 30^\circ$.
Подставляем значения:
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 30^\circ$
Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см².

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей всех ее 8 боковых граней:
$S_{бок} = 8 \cdot S_{грани} = 8 \cdot 1 = 8$ см².

Ответ: 8 см².

18.12. Площадь боковой поверхности правильной пятиугольной пирамиды равна $300 \text{ см}^2$, а её апофема – 15 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема пирамиды (высота боковой грани).

В основании данной пирамиды лежит правильный пятиугольник. Обозначим сторону основания через $a$. Тогда периметр основания равен:

$P_{осн} = 5a$

Подставим это выражение в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} (5a) \cdot h_a$

Из условия задачи нам известно, что $S_{бок} = 300$ см² и апофема $h_a = 15$ см. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти сторону основания $a$:

$300 = \frac{1}{2} \cdot 5a \cdot 15$

Упростим правую часть уравнения:

$300 = \frac{75}{2} a$

$300 = 37.5 a$

Выразим $a$:

$a = \frac{300}{37.5}$

$a = 8$

Таким образом, сторона основания пирамиды равна 8 см.

Ответ: 8 см.

18.13. Каждое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 10 см.

Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади её основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

1. Найдём площадь основания.
В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. По условию, каждое ребро пирамиды равно 10 см, следовательно, сторона квадрата в основании $a = 10$ см.
Площадь основания вычисляется по формуле площади квадрата:
$S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100$ см².

2. Найдём площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность состоит из четырёх равных треугольников. Поскольку все рёбра пирамиды (и основания, и боковые) равны 10 см, боковые грани являются равносторонними треугольниками со стороной $b = 10$ см.
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}$.
Площадь одной боковой грани:
$S_{грани} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3}$ см².
Так как таких граней четыре, площадь боковой поверхности равна:
$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 25 \sqrt{3} = 100 \sqrt{3}$ см².

3. Найдём площадь полной поверхности.
Сложим площади основания и боковой поверхности:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 100 \sqrt{3}$ см².
Результат можно представить, вынеся общий множитель за скобки:
$S_{полн} = 100(1 + \sqrt{3})$ см².

Ответ: $100(1 + \sqrt{3})$ см².

18.14. Каждое ребро правильной треугольной пирамиды равно 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) складывается из площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$
В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник. По условию задачи, каждое ребро пирамиды равно 4 см. Это означает, что и стороны основания, и боковые ребра равны 4 см.
Следовательно, основание пирамиды — это равносторонний треугольник со стороной $a = 4$ см. Боковые грани также являются равносторонними треугольниками со стороной $a = 4$ см, так как все их стороны (два боковых ребра и одно ребро основания) равны 4 см.
Таким образом, полная поверхность данной пирамиды (которая является правильным тетраэдром) состоит из четырех одинаковых равносторонних треугольников.
Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$
Вычислим площадь одной грани (одного такого треугольника), подставив $a = 4$ см:
$S_{\triangle} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см²
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей четырех таких одинаковых треугольников:
$S_{полн} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см²

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².

18.15. Основанием пирамиды $MABCD$ является параллелограмм $ABCD$, диагональ $BD$ которого равна 4 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, а боковое ребро $MA$ равно 8 см и образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Найдите ребро $MD$.

Пусть MABCD — данная пирамида. Основание ABCD — параллелограмм. Точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD. По условию, высота пирамиды проходит через точку O, следовательно, отрезок MO перпендикулярен плоскости основания (ABC).

Угол между боковым ребром (наклонной) MA и плоскостью основания (ABC) — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекцией ребра MA на плоскость (ABC) является отрезок AO. Следовательно, угол между MA и плоскостью основания — это угол $\angle MAO$. По условию, $\angle MAO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MOA$. Так как MO — высота пирамиды, то $MO \perp AO$, и, следовательно, $\triangle MOA$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MOA$. Нам известна гипотенуза $MA = 8$ см и острый угол $\angle MAO = 45^\circ$.

Из свойств прямоугольного треугольника, катеты MO (высота пирамиды) и AO (проекция ребра) можно найти следующим образом:
$MO = MA \cdot \sin(\angle MAO) = 8 \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
$AO = MA \cdot \cos(\angle MAO) = 8 \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
(Поскольку $\triangle MOA$ — равнобедренный, $MO = AO$).

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Значит, точка O является серединой диагонали BD. Длина диагонали $BD = 4$ см, следовательно, длина отрезка DO составляет:
$DO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MOD$. Он также является прямоугольным, так как высота пирамиды MO перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, проходящей через точку O, в том числе и прямой BD. Таким образом, $\angle MOD = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MOD$ нам известны длины катетов: $MO = 4\sqrt{2}$ см и $DO = 2$ см. Мы можем найти длину гипотенузы MD, которая является искомым ребром, по теореме Пифагора:
$MD^2 = MO^2 + DO^2$
$MD^2 = (4\sqrt{2})^2 + 2^2 = (16 \cdot 2) + 4 = 32 + 4 = 36$
$MD = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

18.16. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 13 см, а одна из диагоналей – 24 см. Основанием высоты пирамиды является точка пересечения диагоналей основания пирамиды. Найдите боковые рёбра пирамиды, если её высота равна 16 см.

Пусть основание пирамиды — ромб $ABCD$, $S$ — ее вершина, а $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. По условию, $SO$ — высота пирамиды, и ее длина $H = SO = 16$ см. Сторона ромба $a = AB = BC = CD = DA = 13$ см. Одна из диагоналей, например $AC$, равна $d_1 = 24$ см.

Сначала рассмотрим основание пирамиды. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным ($\angle AOB = 90^\circ$), а отрезки $AO$ и $BO$ являются половинами диагоналей.

Найдем длину половины диагонали $AC$:$AO = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

В прямоугольном треугольнике $AOB$ известны гипотенуза $AB = 13$ см и катет $AO = 12$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $BO$:$BO^2 = AB^2 - AO^2$$BO^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$$BO = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь у нас есть длины половин обеих диагоналей: $AO = OC = 12$ см и $BO = OD = 5$ см.

Далее найдем длины боковых ребер пирамиды ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$). Поскольку $SO$ — высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Это означает, что треугольники $SOA$, $SOB$, $SOC$ и $SOD$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Его катеты — высота $SO = 16$ см и половина диагонали $AO = 12$ см. Боковое ребро $SA$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:$SA^2 = SO^2 + AO^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$$SA = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как $OC = AO = 12$ см, то длина бокового ребра $SC$ будет такой же, как и $SA$:$SC = SA = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$. Его катеты — высота $SO = 16$ см и половина диагонали $BO = 5$ см. Боковое ребро $SB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:$SB^2 = SO^2 + BO^2 = 16^2 + 5^2 = 256 + 25 = 281$$SB = \sqrt{281}$ см.

Так как $OD = BO = 5$ см, то длина бокового ребра $SD$ будет такой же, как и $SB$:$SD = SB = \sqrt{281}$ см.

Ответ: два боковых ребра равны 20 см, два других — $\sqrt{281}$ см.

18.17. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды, проходящего через большую диагональ основания.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ и центром основания $O$. Боковое ребро пирамиды по условию равно $b$. Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, равен $\beta$. Этот угол является углом между наклонной (боковым ребром, например $SA$) и её проекцией на плоскость (радиусом описанной окружности основания $OA$). Таким образом, $\angle SAO = \beta$.

Диагональное сечение, проходящее через большую диагональ основания (например, $AD$), является равнобедренным треугольником $ASD$. Основание этого треугольника — большая диагональ $AD$, а боковые стороны — боковые рёбра $SA$ и $SD$, каждое из которых равно $b$. Высота этого треугольника совпадает с высотой пирамиды $SO = H$.

Площадь сечения $S_{ASD}$ можно найти по формуле площади треугольника:

$S_{ASD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SO$

Для нахождения $AD$ и $SO$ рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $SA = b$, катет $SO = H$ (высота пирамиды), катет $OA = R$ (радиус описанной окружности основания).

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим:

$SO = H = SA \cdot \sin(\angle SAO) = b \sin(\beta)$

$OA = R = SA \cdot \cos(\angle SAO) = b \cos(\beta)$

В правильном шестиугольнике большая диагональ ($AD$) в два раза больше радиуса описанной окружности ($R$):

$AD = 2R = 2b \cos(\beta)$

Теперь подставим найденные выражения для $AD$ и $SO$ в формулу площади сечения:

$S_{ASD} = \frac{1}{2} \cdot (2b \cos(\beta)) \cdot (b \sin(\beta)) = b^2 \sin(\beta) \cos(\beta)$

Можно также использовать формулу синуса двойного угла $2 \sin(\beta) \cos(\beta) = \sin(2\beta)$, чтобы представить ответ в другом виде:

$S_{ASD} = \frac{1}{2} b^2 \cdot (2 \sin(\beta) \cos(\beta)) = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\beta)$

Ответ: $b^2 \sin(\beta) \cos(\beta)$ или $\frac{1}{2}b^2\sin(2\beta)$.

18.18. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, в основании которой лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$, а $S$ — её вершина. Диагональным сечением является равнобедренный треугольник, проходящий через вершину пирамиды и диагональ основания, например, треугольник $SAC$.

Площадь этого треугольника $S_{SAC}$ вычисляется по формуле половины произведения его основания на высоту. В качестве основания возьмём диагональ квадрата $AC$, а высотой будет высота пирамиды $SO$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

$S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO$

1. Найдём длину диагонали основания $AC$.
Так как основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a$, то по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Найдём высоту пирамиды $SO$.
По условию, боковое ребро (например, $SA$) образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией вершины $S$ на плоскость основания является центр квадрата $O$, следовательно, проекцией ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $AO$. Таким образом, $\angle SAO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAO$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). Длина катета $AO$ равна половине длины диагонали $AC$:
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Высота пирамиды $SO$ является вторым катетом в этом треугольнике. Мы можем найти её через тангенс угла $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{SO}{AO}$
$SO = AO \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)$.

3. Вычислим площадь диагонального сечения $SAC$.
Теперь, имея длину основания $AC$ и высоту $SO$, подставим их в формулу площади:

$S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)\right) = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot \tan(\alpha) = \frac{2a^2}{4} \tan(\alpha) = \frac{a^2}{2} \tan(\alpha)$.

Ответ: $\frac{a^2 \tan \alpha}{2}$

18.19. Докажите, что в правильной пирамиде:

1) боковые рёбра образуют равные углы с плоскостью основания;

2) двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны.

1) боковые рёбра образуют равные углы с плоскостью основания;

Пусть дана правильная n-угольная пирамида $S A_1 A_2 \dots A_n$ с вершиной $S$. По определению правильной пирамиды, её основание $A_1 A_2 \dots A_n$ является правильным многоугольником, а вершина $S$ проецируется в центр этого многоугольника. Обозначим центр основания буквой $O$. Тогда отрезок $SO$ является высотой пирамиды, то есть $SO$ перпендикулярен плоскости основания $(A_1 A_2 \dots A_n)$.

Угол между боковым ребром, например $SA_1$, и плоскостью основания — это угол между этим ребром и его проекцией на плоскость основания. Проекцией точки $S$ на плоскость основания является точка $O$, а проекцией точки $A_1$ является сама точка $A_1$. Следовательно, проекцией бокового ребра $SA_1$ на плоскость основания является отрезок $OA_1$. Угол между ребром $SA_1$ и его проекцией $OA_1$ — это угол $\angle SA_1O$. Аналогично, для любого бокового ребра $SA_i$ углом с плоскостью основания будет угол $\angle SA_iO$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, \dots, \triangle SOA_n$. Все они являются прямоугольными, так как $SO$ — высота, то есть $\angle SOA_1 = \angle SOA_2 = \dots = \angle SOA_n = 90^\circ$.

У этих треугольников катет $SO$ является общим, а катеты $OA_1, OA_2, \dots, OA_n$ равны между собой, так как точка $O$ — центр правильного многоугольника $A_1 A_2 \dots A_n$ и, следовательно, равноудалена от всех его вершин. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, \dots, \triangle SOA_n$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности, углов: $\angle SA_1O = \angle SA_2O = \dots = \angle SA_nO$.

Это и есть углы, которые боковые рёбра образуют с плоскостью основания. Так как все эти углы равны, утверждение доказано.

Ответ: Углы, образованные боковыми рёбрами с плоскостью основания, равны, так как они являются соответствующими острыми углами в равных прямоугольных треугольниках, образованных высотой пирамиды, боковым ребром и его проекцией на основание.

2) двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны.

Двугранный угол при ребре основания, например $A_1A_2$, — это угол между плоскостью боковой грани $(SA_1A_2)$ и плоскостью основания $(A_1 A_2 \dots A_n)$. Величина двугранного угла измеряется его линейным углом.

Для построения линейного угла опустим из вершины $S$ апофему боковой грани $SH_1$ на ребро основания $A_1A_2$ (где $H_1$ — середина $A_1A_2$). Так как в правильной пирамиде все боковые рёбра равны ($SA_1 = SA_2$), боковая грань $\triangle SA_1A_2$ является равнобедренным треугольником. В нём медиана $SH_1$ является также и высотой, поэтому $SH_1 \perp A_1A_2$.

Теперь в плоскости основания соединим центр $O$ с точкой $H_1$. Отрезок $OH_1$ является апофемой основания. В правильном многоугольнике апофема перпендикулярна соответствующей стороне, поэтому $OH_1 \perp A_1A_2$.

Мы построили две прямые, $SH_1$ и $OH_1$, которые перпендикулярны ребру двугранного угла $A_1A_2$ в одной и той же точке $H_1$. Угол между этими прямыми, $\angle SH_1O$, является линейным углом двугранного угла при ребре $A_1A_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOH_1$ (угол $\angle SOH_1 = 90^\circ$, так как $SO$ — высота пирамиды). Аналогично можно построить линейные углы $\angle SH_iO$ для всех остальных рёбер основания $A_iA_{i+1}$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOH_1, \triangle SOH_2, \dots, \triangle SOH_n$. Катет $SO$ является общим для всех этих треугольников. Катеты $OH_1, OH_2, \dots, OH_n$ равны, так как они являются апофемами правильного многоугольника в основании (расстояние от центра до сторон правильного многоугольника одинаково). Следовательно, все эти прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle SH_1O = \angle SH_2O = \dots = \angle SH_nO$.

Поскольку линейные углы двугранных углов при рёбрах основания равны, то равны и сами двугранные углы. Утверждение доказано.

Ответ: Двугранные углы при рёбрах основания равны, так как их линейные углы являются соответствующими острыми углами в равных прямоугольных треугольниках, образованных высотой пирамиды, апофемой основания и апофемой боковой грани.