Номер 19, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 19, страница 167.

Условие.

18.19. Докажите, что в правильной пирамиде:

1) боковые рёбра образуют равные углы с плоскостью основания;

2) двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны.

Решение 1.

Решение 3.

1) боковые рёбра образуют равные углы с плоскостью основания;

Пусть дана правильная n-угольная пирамида $S A_1 A_2 \dots A_n$ с вершиной $S$. По определению правильной пирамиды, её основание $A_1 A_2 \dots A_n$ является правильным многоугольником, а вершина $S$ проецируется в центр этого многоугольника. Обозначим центр основания буквой $O$. Тогда отрезок $SO$ является высотой пирамиды, то есть $SO$ перпендикулярен плоскости основания $(A_1 A_2 \dots A_n)$.

Угол между боковым ребром, например $SA_1$, и плоскостью основания — это угол между этим ребром и его проекцией на плоскость основания. Проекцией точки $S$ на плоскость основания является точка $O$, а проекцией точки $A_1$ является сама точка $A_1$. Следовательно, проекцией бокового ребра $SA_1$ на плоскость основания является отрезок $OA_1$. Угол между ребром $SA_1$ и его проекцией $OA_1$ — это угол $\angle SA_1O$. Аналогично, для любого бокового ребра $SA_i$ углом с плоскостью основания будет угол $\angle SA_iO$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, \dots, \triangle SOA_n$. Все они являются прямоугольными, так как $SO$ — высота, то есть $\angle SOA_1 = \angle SOA_2 = \dots = \angle SOA_n = 90^\circ$.

У этих треугольников катет $SO$ является общим, а катеты $OA_1, OA_2, \dots, OA_n$ равны между собой, так как точка $O$ — центр правильного многоугольника $A_1 A_2 \dots A_n$ и, следовательно, равноудалена от всех его вершин. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, \dots, \triangle SOA_n$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности, углов: $\angle SA_1O = \angle SA_2O = \dots = \angle SA_nO$.

Это и есть углы, которые боковые рёбра образуют с плоскостью основания. Так как все эти углы равны, утверждение доказано.

Ответ: Углы, образованные боковыми рёбрами с плоскостью основания, равны, так как они являются соответствующими острыми углами в равных прямоугольных треугольниках, образованных высотой пирамиды, боковым ребром и его проекцией на основание.

2) двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны.

Двугранный угол при ребре основания, например $A_1A_2$, — это угол между плоскостью боковой грани $(SA_1A_2)$ и плоскостью основания $(A_1 A_2 \dots A_n)$. Величина двугранного угла измеряется его линейным углом.

Для построения линейного угла опустим из вершины $S$ апофему боковой грани $SH_1$ на ребро основания $A_1A_2$ (где $H_1$ — середина $A_1A_2$). Так как в правильной пирамиде все боковые рёбра равны ($SA_1 = SA_2$), боковая грань $\triangle SA_1A_2$ является равнобедренным треугольником. В нём медиана $SH_1$ является также и высотой, поэтому $SH_1 \perp A_1A_2$.

Теперь в плоскости основания соединим центр $O$ с точкой $H_1$. Отрезок $OH_1$ является апофемой основания. В правильном многоугольнике апофема перпендикулярна соответствующей стороне, поэтому $OH_1 \perp A_1A_2$.

Мы построили две прямые, $SH_1$ и $OH_1$, которые перпендикулярны ребру двугранного угла $A_1A_2$ в одной и той же точке $H_1$. Угол между этими прямыми, $\angle SH_1O$, является линейным углом двугранного угла при ребре $A_1A_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOH_1$ (угол $\angle SOH_1 = 90^\circ$, так как $SO$ — высота пирамиды). Аналогично можно построить линейные углы $\angle SH_iO$ для всех остальных рёбер основания $A_iA_{i+1}$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOH_1, \triangle SOH_2, \dots, \triangle SOH_n$. Катет $SO$ является общим для всех этих треугольников. Катеты $OH_1, OH_2, \dots, OH_n$ равны, так как они являются апофемами правильного многоугольника в основании (расстояние от центра до сторон правильного многоугольника одинаково). Следовательно, все эти прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle SH_1O = \angle SH_2O = \dots = \angle SH_nO$.

Поскольку линейные углы двугранных углов при рёбрах основания равны, то равны и сами двугранные углы. Утверждение доказано.

Ответ: Двугранные углы при рёбрах основания равны, так как их линейные углы являются соответствующими острыми углами в равных прямоугольных треугольниках, образованных высотой пирамиды, апофемой основания и апофемой боковой грани.