Номер 25, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 25, страница 168.

Условие.

18.25. Каждое ребро правильной пирамиды $MABCD$ равно $a$, точка $E$ – середина ребра $MC$.

1) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $BED$.

2) Найдите угол между плоскостью $BED$ и плоскостью основания пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

1) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BED.

По условию, MABCD – правильная пирамида, у которой все ребра равны a. Это означает, что в основании пирамиды лежит квадрат ABCD со стороной a, а боковые грани (MAB, MBC, MCD, MDA) являются равносторонними треугольниками со стороной a.

Сечение пирамиды плоскостью BED представляет собой треугольник BED. Найдем длины его сторон.

1. Сторона BD является диагональю квадрата ABCD. Длина диагонали квадрата со стороной a равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, $BD = a\sqrt{2}$.

2. Сторона BE является медианой в равностороннем треугольнике MBC, проведенной из вершины B к стороне MC (так как E – середина MC). В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длина высоты (медианы) в равностороннем треугольнике со стороной a вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $BE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Аналогично, сторона DE является медианой в равностороннем треугольнике MCD. Поэтому ее длина также равна $DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Итак, треугольник BED является равнобедренным с основанием BD, так как $BE = DE$. Для нахождения его площади найдем высоту, проведенную к основанию BD. Пусть O – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD (центр основания). В равнобедренном треугольнике BED медиана, проведенная к основанию, является и высотой. Поскольку O – середина BD, отрезок EO является медианой и высотой треугольника BED. Таким образом, $EO \perp BD$.

Площадь сечения $S_{BED} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot EO$.

Найдем длину высоты EO. Рассмотрим треугольник MOC. O - центр основания, MO - высота пирамиды. OC - половина диагонали AC. $OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}a\sqrt{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$. В прямоугольном треугольнике MOC (MO перпендикулярна плоскости основания) по теореме Пифагора: $MO^2 = MC^2 - OC^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$. Отсюда $MO = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Так как $MO=OC=\frac{a}{\sqrt{2}}$, треугольник MOC является не только прямоугольным, но и равнобедренным. Точка E – середина гипотенузы MC. Отрезок EO является медианой, проведенной к гипотенузе. Длина медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Следовательно, $EO = \frac{1}{2}MC = \frac{a}{2}$.

Теперь можем вычислить площадь сечения:

$S_{BED} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot EO = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

2) Найдите угол между плоскостью BED и плоскостью основания пирамиды.

Угол между двумя плоскостями – это двугранный угол, который измеряется линейным углом, то есть углом между двумя перпендикулярами, проведенными в каждой плоскости к их линии пересечения.

Плоскость сечения BED и плоскость основания ABCD пересекаются по прямой BD.

1. В плоскости основания (ABCD) проведем перпендикуляр к линии пересечения BD. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому $AC \perp BD$. Отрезок OC лежит на диагонали AC, следовательно, $OC \perp BD$.

2. В плоскости сечения (BED) проведем перпендикуляр к линии пересечения BD. Как мы установили в пункте 1, треугольник BED – равнобедренный с основанием BD, и его высота (а также медиана) EO перпендикулярна основанию BD. То есть, $EO \perp BD$.

Следовательно, искомый угол между плоскостями равен углу между отрезками OC и EO, то есть углу $\angle EOC$.

Рассмотрим треугольник EOC. Нам известны длины всех его сторон из предыдущего пункта:

• $OC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (половина диагонали квадрата)
• $EC = \frac{a}{2}$ (так как E – середина ребра MC)
• $EO = \frac{a}{2}$ (как медиана к гипотенузе в прямоугольном треугольнике MOC)

Для нахождения угла $\angle EOC$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника EOC:

$EC^2 = EO^2 + OC^2 - 2 \cdot EO \cdot OC \cdot \cos(\angle EOC)$

Подставим известные значения:

$(\frac{a}{2})^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(\angle EOC)$

$\frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} - \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(\angle EOC)$

$0 = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(\angle EOC)$

$\frac{a^2\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(\angle EOC) = \frac{a^2}{2}$

$\cos(\angle EOC) = \frac{a^2/2}{a^2\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда, $\angle EOC = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.