Номер 26, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 26, страница 168.

Условие.

18.26. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания. В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

2. Найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из трех одинаковых равнобедренных треугольников. Площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_s$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h_s$ — апофема пирамиды (высота боковой грани).

Периметр основания $P_{осн} = 3a$.

Чтобы найти апофему $h_s$, рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через апофему и высоту пирамиды. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r$, а гипотенузой — апофема $h_s$. Двугранный угол при ребре основания $\alpha$ — это угол между апофемой и радиусом вписанной окружности.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, равен:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, апофемой и радиусом, имеем соотношение:

$\cos \alpha = \frac{r}{h_s}$

Отсюда выразим апофему:

$h_s = \frac{r}{\cos \alpha} = \frac{a}{2\sqrt{3}\cos \alpha}$

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} (3a) \cdot h_s = \frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}\cos \alpha} = \frac{3a^2}{4\sqrt{3}\cos \alpha}$

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$ или сократив $3$ и $\sqrt{3}$:

$S_{бок} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot a^2}{4\sqrt{3}\cos \alpha} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4\cos \alpha}$

3. Найдем площадь полной поверхности, сложив площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{a^2\sqrt{3}}{4\cos \alpha}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$S_{полн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \left(1 + \frac{1}{\cos \alpha}\right)$

Ответ: $S_{полн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \left(1 + \frac{1}{\cos \alpha}\right)$