Номер 31, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 31, страница 168.

Условие.

18.31. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 32 см. Высота пирамиды равна 12 см. Найдите боковые рёбра пирамиды, если они образуют равные углы с плоскостью основания.

Решение 1.

Решение 3.

Решение

Пусть дана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник, а $H$ — её высота. По условию, $H = 12$ см. Гипотенуза основания равна 32 см.

Условие, что все боковые рёбра образуют равные углы с плоскостью основания, означает, что проекция вершины пирамиды на плоскость основания совпадает с центром окружности, описанной около треугольника-основания.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы.

Следовательно, радиус $R$ этой описанной окружности равен половине длины гипотенузы:$R = \frac{32}{2} = 16$ см.

Этот радиус является проекцией каждого бокового ребра на плоскость основания. Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, проекцией бокового ребра $R$ и самим боковым ребром $l$. В этом треугольнике $H$ и $R$ являются катетами, а $l$ — гипотенузой.

По теореме Пифагора найдём длину бокового ребра $l$:$l^2 = H^2 + R^2$$l^2 = 12^2 + 16^2$$l^2 = 144 + 256$$l^2 = 400$$l = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как все боковые рёбра образуют равные углы с основанием, их длины равны.

Ответ: 20 см.