Номер 37, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 37, страница 169.

Условие.

18.37. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^{\circ}$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $a=5$ см, $b=12$ см и $c=13$ см. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Квадрат третьей стороны $c^2 = 13^2 = 169$. Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник в основании является прямоугольным, где катеты равны 5 см и 12 см.

Площадь основания ($S_{осн}$) как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см².

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $\alpha = 30^\circ$. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны, то площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) связана с площадью основания формулой:
$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$

Подставим известные значения в формулу:
$S_{бок} = \frac{30}{\cos(30^\circ)} = \frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = \frac{60\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}$ см².

Ответ: $20\sqrt{3}$ см².

2) высоту пирамиды.

Так как все двугранные углы при ребрах основания равны, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Высота пирамиды ($H$), радиус вписанной в основание окружности ($r$) и апофема (высота боковой грани) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами, а заданный двугранный угол $\alpha = 30^\circ$ является углом между апофемой и радиусом $r$. Таким образом, $H = r \cdot \tan(\alpha)$.

Для нахождения высоты $H$ сначала найдем радиус $r$ вписанной окружности. Радиус можно найти по формуле $r = \frac{S_{осн}}{p}$, где $p$ — полупериметр основания.

Периметр основания $P = 5 + 12 + 13 = 30$ см.
Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь вычислим радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{30}{15} = 2$ см.

Наконец, найдем высоту пирамиды:
$H = r \cdot \tan(\alpha) = 2 \cdot \tan(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.