Номер 36, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 36, страница 169.

Условие.

18.36. Основанием пирамиды является ромб со стороной 8 см и углом $30^\circ$. Каждый двугранный угол пирамиды при рёбрах основания равен $45^\circ$.

Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана пирамида, в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $a = 8$ см и острым углом $\alpha = 30^\circ$. Все двугранные углы при ребрах основания равны $\varphi = 45^\circ$.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр вписанной в основание окружности. Для ромба таким центром является точка пересечения его диагоналей $O$. Высота пирамиды - это отрезок $SO = H$.

Для решения задачи сначала найдем характеристики основания: его площадь ($S_{осн}$) и радиус вписанной окружности ($r$).

Площадь ромба вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2 \sin \alpha$:

$S_{осн} = 8^2 \cdot \sin 30^\circ = 64 \cdot \frac{1}{2} = 32 \text{ см}^2$.

Высота ромба $h_{ромба}$ связана с его площадью и стороной: $h_{ромба} = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{32}{8} = 4$ см.

Радиус вписанной в ромб окружности $r$ равен половине его высоты:

$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Для пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны, площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) связана с площадью основания ($S_{осн}$) и величиной двугранного угла ($\varphi$) следующей формулой:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \varphi}$

Подставим вычисленное значение площади основания и заданный угол:

$S_{бок} = \frac{32}{\cos 45^\circ} = \frac{32}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{64}{\sqrt{2}} = \frac{64\sqrt{2}}{2} = 32\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $32\sqrt{2} \text{ см}^2$.

2) высоту пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H=SO$, радиусом вписанной окружности $r=OK$ (где $K$ - точка касания на стороне ромба) и апофемой $SK$. Угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания, поэтому $\angle SKO = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOK$ (с прямым углом $\angle SOK$) катеты $H$ и $r$ связаны через тангенс угла $\angle SKO$:

$\tan(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{H}{r}$

Отсюда находим высоту $H$:

$H = r \cdot \tan(\angle SKO) = 2 \cdot \tan 45^\circ = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Ответ: 2 см.