Номер 33, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 33, страница 169.

Условие.

18.33. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, такой, что $\angle ABC = 120^\circ$, $AB = BC$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^\circ$ и равно $8$ см. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $DABC$ — данная пирамида. Основанием является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$ и $\angle ABC = 120^{\circ}$. Каждое боковое ребро равно $8$ см и образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$.

Поскольку все боковые ребра пирамиды ($DA$, $DB$, $DC$) имеют одинаковую длину и одинаковый угол наклона к плоскости основания, вершина пирамиды $D$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. Следовательно, отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами этой окружности, и $R = OA = OB = OC$.

Высота пирамиды $DO$ перпендикулярна плоскости основания. Угол между боковым ребром, например $DA$, и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией $OA$ на эту плоскость. Таким образом, $\angle DAO = 45^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DOA$ (угол $\angle DOA = 90^{\circ}$, так как $DO$ — высота). В этом треугольнике нам известна гипотенуза $DA = 8$ см и острый угол $\angle DAO = 45^{\circ}$. Катет $OA$ является радиусом $R$ описанной окружности основания. Найдем его длину:$R = OA = DA \cdot \cos(\angle DAO) = 8 \cdot \cos(45^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем площадь основания — треугольника $ABC$. Сначала определим углы при его основании $AC$:$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.

Для вычисления площади воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$: $\frac{a}{\sin A} = 2R$. С ее помощью найдем длину стороны $AB$:$\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = 2R$$AB = 2R \cdot \sin(30^{\circ}) = 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB=BC$, то $BC = 4\sqrt{2}$ см.Теперь можем вычислить площадь основания по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin(120^{\circ})$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (16 \cdot 2) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $8\sqrt{3}$ см$^2$.