Номер 28, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 28, страница 168.

Условие.

18.28. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см и образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. В основании такой пирамиды лежит квадрат. Апофема — это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды. Обозначим апофему как $h_a$. По условию, $h_a = 6$ см.

Угол между апофемой и плоскостью основания — это угол между апофемой и ее проекцией на это основание. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ (которая является гипотенузой в этом треугольнике) и проекцией апофемы на основание. Эта проекция соединяет центр основания с серединой стороны основания и равна половине стороны квадрата, лежащего в основании. Обозначим сторону квадрата как $a$. Тогда длина проекции равна $\frac{a}{2}$.

По условию, угол между апофемой и плоскостью основания равен $60^\circ$. В нашем прямоугольном треугольнике этот угол находится между гипотенузой $h_a$ и катетом $\frac{a}{2}$. Мы можем связать эти величины через косинус:
$\cos(60^\circ) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a/2}{h_a}$

Подставим известные значения: $h_a = 6$ см и $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{a/2}{6}$
Решим уравнение относительно $a$:
$6 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$
$3 = \frac{a}{2}$
$a = 3 \cdot 2 = 6$ см.
Итак, сторона основания пирамиды равна 6 см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$,
где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема.

Периметр квадрата сo стороной $a=6$ см равен:
$P = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности, подставив известные значения в формулу:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 6 = 12 \cdot 6 = 72$ см$^2$.

Ответ: $72$ см$^2$.