Номер 24, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 24, страница 168.

Условие.

18.24. Угол между двумя апофемами правильной треугольной пирамиды равен $60^\circ$. Докажите, что боковые грани пирамиды являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где S — вершина, а ABC — основание. Так как пирамида правильная, ее основание — равносторонний треугольник ABC, а все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Проведем апофемы (высоты боковых граней) SK и SL к сторонам основания BC и AC соответственно. Поскольку боковые грани SBC и SAC равны, то их апофемы также равны: $SK = SL$.

Рассмотрим треугольник SKL. По условию, угол между апофемами SK и SL равен 60°, то есть $ \angle KSL = 60^\circ $. Так как треугольник SKL является равнобедренным ($SK = SL$) с углом при вершине 60°, то он является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны: $SK = SL = KL$.

Теперь рассмотрим основание пирамиды — равносторонний треугольник ABC. Так как SK и SL являются высотами в равнобедренных треугольниках SBC и SAC, то точки K и L являются серединами сторон BC и AC. Таким образом, отрезок KL является средней линией треугольника ABC.

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины параллельной ей стороны. Обозначим длину стороны основания как $a$. Тогда $AB = BC = AC = a$, и $KL = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$.

Из того, что треугольник SKL равносторонний, мы знаем, что $SK = KL$. Подставляя найденное значение для KL, получаем, что длина апофемы $SK = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим боковую грань, например, треугольник SBC. SK является его высотой, опущенной на основание BC. Эта высота делит основание пополам, поэтому $KC = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SKC (угол $ \angle SKC = 90^\circ $). Мы выяснили, что его катеты равны: $SK = \frac{a}{2}$ и $KC = \frac{a}{2}$. Следовательно, треугольник SKC является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его острые углы равны по 45°, то есть $ \angle KSC = 45^\circ $.

Аналогично для прямоугольного треугольника SKB, катет $KB = \frac{a}{2}$ и катет $SK = \frac{a}{2}$, откуда следует, что $ \angle KSB = 45^\circ $.

Угол при вершине S в боковой грани SBC, $ \angle BSC $, равен сумме углов $ \angle KSB $ и $ \angle KSC $: $ \angle BSC = \angle KSB + \angle KSC = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ $.

Таким образом, боковая грань SBC является равнобедренным треугольником (по определению правильной пирамиды) и имеет прямой угол при вершине S. Значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник.

Так как все боковые грани правильной пирамиды равны между собой, то все они являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Боковые грани пирамиды действительно являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.