Номер 22, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 22, страница 168.

Условие.

18.22. Точки $D$, $E$ и $F$ – середины рёбер $AB$, $AM$ и $MC$ правильной пирамиды $MABC$ соответственно, $AB = 8$ см, $AM = 12$ см.

1) Постройте сечение пирамиды, проходящее через точки $D$, $E$ и $F$.

2) Докажите, что построенное сечение является прямоугольником.

3) Найдите площадь сечения.

Решение 1.

Решение 3.

1) Постройте сечение пирамиды, проходящее через точки D, E и F.

Построение искомого сечения производится следующим образом:

1. Точки E и F лежат в плоскости грани MAC, так как E — середина ребра AM, а F — середина ребра MC. Соединим эти точки. Отрезок EF является средней линией треугольника AMC. По свойству средней линии, $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC$.

2. Секущая плоскость содержит прямую EF. Так как прямая EF параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания ABC, то секущая плоскость пересекает плоскость основания по прямой, параллельной AC.

3. Точка D принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости основания. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с плоскостью основания должна проходить через точку D. Проведем в плоскости ABC прямую через точку D параллельно AC. Пусть эта прямая пересекает ребро BC в точке K.

4. В треугольнике ABC точка D является серединой стороны AB, а прямая $DK \parallel AC$. По теореме Фалеса, точка K является серединой стороны BC. Таким образом, DK — средняя линия треугольника ABC.

5. Соединяя последовательно точки, получаем четырехугольник DEFK, который и является искомым сечением. Его стороны лежат на гранях пирамиды: DE в грани MAB, EF в грани MAC, FK в грани MBC и KD в грани ABC.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник DEFK, где K — середина ребра BC.

2) Докажите, что построенное сечение является прямоугольником.

Рассмотрим свойства построенного четырехугольника DEFK.

Из построения следует, что D, E, F, K — середины ребер AB, AM, MC, BC соответственно.
В $\triangle MAB$ отрезок DE является средней линией, следовательно, $DE \parallel MB$ и $DE = \frac{1}{2}MB$.
В $\triangle MCB$ отрезок FK является средней линией, следовательно, $FK \parallel MB$ и $FK = \frac{1}{2}MB$.
Отсюда следует, что $DE \parallel FK$ и $DE = FK$.

Аналогично:
В $\triangle MAC$ отрезок EF является средней линией, следовательно, $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC$.
В $\triangle ABC$ отрезок DK является средней линией, следовательно, $DK \parallel AC$ и $DK = \frac{1}{2}AC$.
Отсюда следует, что $EF \parallel DK$ и $EF = DK$.

Поскольку в четырехугольнике DEFK противолежащие стороны попарно параллельны и равны, DEFK является параллелограммом по признаку.

Теперь докажем, что DEFK — прямоугольник. Для этого достаточно показать, что его смежные стороны перпендикулярны, например, $DE \perp EF$. Угол между прямыми DE и EF равен углу между скрещивающимися прямыми MB и AC, так как $DE \parallel MB$ и $EF \parallel AC$. Докажем, что $MB \perp AC$.

Пирамида MABC — правильная, значит, в ее основании лежит равносторонний треугольник ABC, а вершина M проецируется в центр основания O.
Проведем в основании медиану BN к стороне AC. В равностороннем треугольнике медиана является также и высотой, поэтому $BN \perp AC$.
Центр O равностороннего треугольника ABC является точкой пересечения его медиан, значит, точка O лежит на отрезке BN. Следовательно, прямая OB, как часть прямой BN, перпендикулярна прямой AC ($OB \perp AC$).

Так как MO — высота пирамиды, то $MO \perp (ABC)$, и отрезок OB является ортогональной проекцией наклонной MB на плоскость основания ABC.
Согласно теореме о трех перпендикулярах, если прямая, лежащая в плоскости (в нашем случае AC), перпендикулярна проекции наклонной (OB), то она перпендикулярна и самой наклонной (MB).
Таким образом, мы доказали, что $MB \perp AC$.

Поскольку $DE \parallel MB$ и $EF \parallel AC$, из $MB \perp AC$ следует, что $DE \perp EF$.
Параллелограмм DEFK, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Ответ: Доказано, что сечение является прямоугольником.

3) Найдите площадь сечения.

Площадь сечения равна площади прямоугольника DEFK, которая вычисляется по формуле $S_{DEFK} = DE \cdot EF$.

Найдем длины сторон этого прямоугольника.
По условию, сторона основания правильной пирамиды $AB = 8$ см. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, то $AC = 8$ см.
Боковое ребро $AM = 12$ см. Так как пирамида правильная, все ее боковые ребра равны, поэтому $MB = 12$ см.

Как было установлено в пункте 2), DE и EF являются средними линиями треугольников MAB и MAC соответственно.
Длина стороны DE равна половине длины ребра MB:
$DE = \frac{1}{2}MB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.
Длина стороны EF равна половине длины стороны основания AC:
$EF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Теперь можем вычислить площадь прямоугольника DEFK:
$S_{DEFK} = DE \cdot EF = 6 \cdot 4 = 24 \text{ см}^2$.

Ответ: $24 \text{ см}^2$.