Номер 27, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 27, страница 168.

Условие.

18.27. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды рав-на $d$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Най-дите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания.

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть сторона квадрата равна $a$. Диагональ квадрата $d$ связана со стороной по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Площадь квадрата (основания пирамиды) можно найти через его диагональ:

$S_{осн} = \frac{1}{2}d^2$

Также можно выразить сторону квадрата через диагональ $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$ и найти площадь как $a^2$:

$S_{осн} = a^2 = \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{d^2}{2}$

2. Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Периметр основания: $P = 4a = 4 \cdot \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4d\sqrt{2}}{2} = 2d\sqrt{2}$.

Двугранный угол при ребре основания $\alpha$ — это угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $SO$, апофемой $SM$ и отрезком $OM$, соединяющим центр основания $O$ с серединой стороны основания $M$. В этом треугольнике $\angle SMO = \alpha$.

Катет $OM$ равен половине стороны основания:

$OM = \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d}{2\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{4}$

Из этого треугольника выразим апофему $h_a = SM$:

$\cos(\alpha) = \frac{OM}{SM} = \frac{OM}{h_a} \implies h_a = \frac{OM}{\cos(\alpha)}$

Подставим значение $OM$:

$h_a = \frac{d\sqrt{2}/4}{\cos(\alpha)} = \frac{d\sqrt{2}}{4\cos(\alpha)}$

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot (2d\sqrt{2}) \cdot \frac{d\sqrt{2}}{4\cos(\alpha)} = \frac{2d^2(\sqrt{2})^2}{8\cos(\alpha)} = \frac{4d^2}{8\cos(\alpha)} = \frac{d^2}{2\cos(\alpha)}$

3. Найдем площадь полной поверхности.

Сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{d^2}{2} + \frac{d^2}{2\cos(\alpha)}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$S_{полн} = \frac{d^2}{2} \left(1 + \frac{1}{\cos(\alpha)}\right) = \frac{d^2}{2} \frac{\cos(\alpha) + 1}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $S_{полн} = \frac{d^2(1 + \cos\alpha)}{2\cos\alpha}$