Номер 20, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 20, страница 168.

Условие.

18.20. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Так как пирамида правильная, ее основание — равносторонний треугольник $ABC$, а вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Отрезок $SO$ является высотой пирамиды.

Боковое ребро, например $SA$, образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Этот угол равен углу между ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания, которой является отрезок $OA$. Таким образом, по условию задачи, $\angle SAO = \alpha$.

Двугранный угол при ребре основания, например, при ребре $BC$, — это угол между плоскостью боковой грани $(SBC)$ и плоскостью основания $(ABC)$. Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол.

Проведем апофему $SM$, где $M$ — середина ребра $BC$. Поскольку треугольник $SBC$ равнобедренный ($SB=SC$), медиана $SM$ является и высотой, то есть $SM \perp BC$. В основании, так как треугольник $ABC$ равносторонний, медиана $AM$ также является высотой, то есть $AM \perp BC$.

Следовательно, угол $\angle SMO$ является линейным углом искомого двугранного угла. Обозначим этот угол через $\beta$.

Для нахождения угла $\beta$ рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle SOA$ (так как $SO$ — высота, то $SO \perp OA$) и $\triangle SOM$ ($SO \perp OM$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$:
$\tan(\alpha) = \frac{SO}{OA}$
Отсюда выразим высоту пирамиды: $SO = OA \cdot \tan(\alpha)$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$:
$\tan(\beta) = \frac{SO}{OM}$
Отсюда также выразим высоту: $SO = OM \cdot \tan(\beta)$.

Приравняем два выражения для высоты $SO$:
$OA \cdot \tan(\alpha) = OM \cdot \tan(\beta)$.

Точка $O$ является центром равностороннего треугольника $ABC$ и точкой пересечения его медиан. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Отрезки $OA$ и $OM$ лежат на медиане $AM$, при этом $OA$ — это расстояние от вершины до центра (радиус описанной окружности), а $OM$ — расстояние от центра до стороны (радиус вписанной окружности). Для равностороннего треугольника справедливо соотношение $OA = 2 \cdot OM$.

Подставим это соотношение в полученное ранее равенство:
$(2 \cdot OM) \cdot \tan(\alpha) = OM \cdot \tan(\beta)$

Поскольку длина отрезка $OM$ не равна нулю, мы можем сократить на $OM$:
$2 \tan(\alpha) = \tan(\beta)$.

Ответ: $\arctan(2 \tan \alpha)$.