Номер 16, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 16, страница 167.

Условие.

18.16. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 13 см, а одна из диагоналей – 24 см. Основанием высоты пирамиды является точка пересечения диагоналей основания пирамиды. Найдите боковые рёбра пирамиды, если её высота равна 16 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть основание пирамиды — ромб $ABCD$, $S$ — ее вершина, а $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. По условию, $SO$ — высота пирамиды, и ее длина $H = SO = 16$ см. Сторона ромба $a = AB = BC = CD = DA = 13$ см. Одна из диагоналей, например $AC$, равна $d_1 = 24$ см.

Сначала рассмотрим основание пирамиды. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным ($\angle AOB = 90^\circ$), а отрезки $AO$ и $BO$ являются половинами диагоналей.

Найдем длину половины диагонали $AC$:$AO = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

В прямоугольном треугольнике $AOB$ известны гипотенуза $AB = 13$ см и катет $AO = 12$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $BO$:$BO^2 = AB^2 - AO^2$$BO^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$$BO = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь у нас есть длины половин обеих диагоналей: $AO = OC = 12$ см и $BO = OD = 5$ см.

Далее найдем длины боковых ребер пирамиды ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$). Поскольку $SO$ — высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Это означает, что треугольники $SOA$, $SOB$, $SOC$ и $SOD$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Его катеты — высота $SO = 16$ см и половина диагонали $AO = 12$ см. Боковое ребро $SA$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:$SA^2 = SO^2 + AO^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$$SA = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как $OC = AO = 12$ см, то длина бокового ребра $SC$ будет такой же, как и $SA$:$SC = SA = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$. Его катеты — высота $SO = 16$ см и половина диагонали $BO = 5$ см. Боковое ребро $SB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:$SB^2 = SO^2 + BO^2 = 16^2 + 5^2 = 256 + 25 = 281$$SB = \sqrt{281}$ см.

Так как $OD = BO = 5$ см, то длина бокового ребра $SD$ будет такой же, как и $SB$:$SD = SB = \sqrt{281}$ см.

Ответ: два боковых ребра равны 20 см, два других — $\sqrt{281}$ см.