Номер 9, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 9, страница 167.

Условие.

18.9. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2 см, а сторона основания – 6 см. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Решение 1.

Решение 3.

1) высоту пирамиды

Пусть дана правильная треугольная пирамида, в основании которой лежит равносторонний треугольник со стороной $a = 6$ см. Апофема пирамиды (высота боковой грани) равна $l = 2$ см.

Высота пирамиды $H$, апофема $l$ и радиус вписанной в основание окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза, а $H$ и $r$ — катеты.

Найдем радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника он вычисляется по формуле:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим известные значения:
$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем высоту пирамиды $H$:
$l^2 = H^2 + r^2$
$H^2 = l^2 - r^2$
$H^2 = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$
$H = \sqrt{1} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

2) двугранный угол пирамиды при ребре основания

Двугранный угол при ребре основания — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. В нашем случае это угол $\alpha$ в том же прямоугольном треугольнике, который образован высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой $l$. Этот угол лежит между апофемой (наклонной) и радиусом (ее проекцией на плоскость основания).

Мы можем найти этот угол, используя тригонометрические функции. Например, через косинус:
$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{r}{l}$

Подставим известные нам значения $r = \sqrt{3}$ см и $l = 2$ см:
$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда находим угол $\alpha$:
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.