Номер 7, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 7, страница 167.

Условие.

18.7. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите сторону основания пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S и основанием ABCD. Так как пирамида правильная, её основание ABCD является квадратом, а высота SO опускается в центр этого квадрата (точку пересечения диагоналей O).

По условию, высота пирамиды $SO = 8$ см.

Углом между боковым ребром (например, SA) и плоскостью основания является угол между этим ребром и его проекцией на плоскость основания (отрезком OA). Таким образом, по условию угол $∠SAO = 45°$.

Рассмотрим треугольник $ΔSAO$. Он является прямоугольным, так как высота SO перпендикулярна плоскости основания, а значит и любой прямой в этой плоскости, т.е. $∠SOA = 90°$.

В прямоугольном треугольнике $ΔSAO$ нам известен катет $SO = 8$ см и прилежащий к нему острый угол $∠SAO = 45°$. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$, то второй острый угол $∠ASO = 90° - ∠SAO = 90° - 45° = 45°$.

Поскольку углы при основании SA равны ($∠SAO = ∠ASO = 45°$), треугольник $ΔSAO$ является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $OA = SO$.

Следовательно, $OA = 8$ см.

Точка O — это центр квадрата ABCD, поэтому отрезок OA является половиной диагонали AC. Длина всей диагонали равна $AC = 2 \cdot OA = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Пусть сторона основания (квадрата) ABCD равна $a$. Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. В нашем случае $d = AC$.

Получаем уравнение для нахождения стороны $a$:
$a\sqrt{2} = 16$
$a = \frac{16}{\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$a = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.