Номер 8, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 8, страница 167.

Условие.

18.8. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, а высота пирамиды – 4 см. Найдите:

1) апофему пирамиды;

2) двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Основание $ABCD$ — это квадрат со стороной $a = 6$ см. Высота пирамиды $SO = H = 4$ см, где $O$ — центр квадрата (точка пересечения диагоналей).

1) апофему пирамиды

Апофема правильной пирамиды — это высота её боковой грани. Проведём апофему $SM$ к стороне основания $BC$. Так как пирамида правильная, треугольник $SBC$ является равнобедренным, и точка $M$ — середина стороны $BC$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Он является прямоугольным, так как высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и $OM$.

В этом треугольнике:

• Катет $SO$ — это высота пирамиды, $SO = H = 4$ см.
• Катет $OM$ — это отрезок, соединяющий центр квадрата с серединой стороны. Его длина равна половине стороны квадрата: $OM = \frac{1}{2} \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
• Гипотенуза $SM$ — это искомая апофема.

По теореме Пифагора для треугольника $SOM$:
$SM^2 = SO^2 + OM^2$
$SM^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$SM = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

2) двугранный угол пирамиды при ребре основания

Двугранный угол при ребре основания $BC$ — это угол между плоскостью боковой грани $(SBC)$ и плоскостью основания $(ABC)$. Этот угол измеряется линейным углом, который образован двумя перпендикулярами к ребру $BC$, проведёнными в этих плоскостях из одной точки.

Из точки $M$ на ребре $BC$ у нас есть два таких перпендикуляра:

• $SM \perp BC$ (апофема в плоскости боковой грани).
• $OM \perp BC$ (отрезок, соединяющий центр квадрата с серединой стороны, в плоскости основания).

Следовательно, искомый двугранный угол — это угол $\angle SMO$ в прямоугольном треугольнике $SOM$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Для нахождения величины угла $\alpha$ воспользуемся тригонометрическими соотношениями в треугольнике $SOM$. Мы знаем длины всех его сторон: катет $SO = 4$ см, катет $OM = 3$ см, гипотенуза $SM = 5$ см.
Найдём тангенс этого угла:
$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{SO}{OM} = \frac{4}{3}$

Таким образом, сам угол равен арктангенсу этого значения.

Ответ: $\arctan(\frac{4}{3})$.