Номер 11, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 11, страница 167.

Условие.

18.11. Плоский угол при вершине правильной восьмиугольной пирамиды равен $30^\circ$, а боковое ребро – 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению количества боковых граней на площадь одной грани. В основании правильной восьмиугольной пирамиды лежит правильный восьмиугольник, следовательно, у пирамиды 8 боковых граней. Так как пирамида правильная, все ее боковые грани — это равные между собой равнобедренные треугольники.

Каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются боковыми ребрами пирамиды, а угол между ними — плоским углом при вершине.
По условию задачи:
Боковое ребро $l = 2$ см.
Плоский угол при вершине $\alpha = 30^\circ$.

Площадь одной такой боковой грани (треугольника), обозначим ее $S_{грани}$, можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$
В нашем случае $a = b = l = 2$ см, а $\gamma = \alpha = 30^\circ$.
Подставляем значения:
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 30^\circ$
Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см².

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей всех ее 8 боковых граней:
$S_{бок} = 8 \cdot S_{грани} = 8 \cdot 1 = 8$ см².

Ответ: 8 см².