Номер 13, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 13, страница 167.

Условие.

18.13. Каждое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 10 см.

Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади её основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

1. Найдём площадь основания.
В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. По условию, каждое ребро пирамиды равно 10 см, следовательно, сторона квадрата в основании $a = 10$ см.
Площадь основания вычисляется по формуле площади квадрата:
$S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100$ см².

2. Найдём площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность состоит из четырёх равных треугольников. Поскольку все рёбра пирамиды (и основания, и боковые) равны 10 см, боковые грани являются равносторонними треугольниками со стороной $b = 10$ см.
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}$.
Площадь одной боковой грани:
$S_{грани} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3}$ см².
Так как таких граней четыре, площадь боковой поверхности равна:
$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 25 \sqrt{3} = 100 \sqrt{3}$ см².

3. Найдём площадь полной поверхности.
Сложим площади основания и боковой поверхности:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 100 \sqrt{3}$ см².
Результат можно представить, вынеся общий множитель за скобки:
$S_{полн} = 100(1 + \sqrt{3})$ см².

Ответ: $100(1 + \sqrt{3})$ см².