Номер 17, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 17, страница 167.

Условие.

18.17. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды, проходящего через большую диагональ основания.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ и центром основания $O$. Боковое ребро пирамиды по условию равно $b$. Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, равен $\beta$. Этот угол является углом между наклонной (боковым ребром, например $SA$) и её проекцией на плоскость (радиусом описанной окружности основания $OA$). Таким образом, $\angle SAO = \beta$.

Диагональное сечение, проходящее через большую диагональ основания (например, $AD$), является равнобедренным треугольником $ASD$. Основание этого треугольника — большая диагональ $AD$, а боковые стороны — боковые рёбра $SA$ и $SD$, каждое из которых равно $b$. Высота этого треугольника совпадает с высотой пирамиды $SO = H$.

Площадь сечения $S_{ASD}$ можно найти по формуле площади треугольника:

$S_{ASD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SO$

Для нахождения $AD$ и $SO$ рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $SA = b$, катет $SO = H$ (высота пирамиды), катет $OA = R$ (радиус описанной окружности основания).

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим:

$SO = H = SA \cdot \sin(\angle SAO) = b \sin(\beta)$

$OA = R = SA \cdot \cos(\angle SAO) = b \cos(\beta)$

В правильном шестиугольнике большая диагональ ($AD$) в два раза больше радиуса описанной окружности ($R$):

$AD = 2R = 2b \cos(\beta)$

Теперь подставим найденные выражения для $AD$ и $SO$ в формулу площади сечения:

$S_{ASD} = \frac{1}{2} \cdot (2b \cos(\beta)) \cdot (b \sin(\beta)) = b^2 \sin(\beta) \cos(\beta)$

Можно также использовать формулу синуса двойного угла $2 \sin(\beta) \cos(\beta) = \sin(2\beta)$, чтобы представить ответ в другом виде:

$S_{ASD} = \frac{1}{2} b^2 \cdot (2 \sin(\beta) \cos(\beta)) = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\beta)$

Ответ: $b^2 \sin(\beta) \cos(\beta)$ или $\frac{1}{2}b^2\sin(2\beta)$.