Номер 21, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 21, страница 168.

Условие.

18.21. Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью её основания.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). Тогда $SO$ — высота пирамиды, и $SO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$.

Двугранный угол при ребре основания, например, при ребре $CD$, — это угол между плоскостью боковой грани $(SCD)$ и плоскостью основания $(ABCD)$. Для его измерения построим линейный угол. Пусть $M$ — середина ребра $CD$. Апофема $SM$ (медиана и высота в равнобедренном треугольнике $SCD$) перпендикулярна $CD$. Отрезок $OM$ в основании также перпендикулярен $CD$. Следовательно, $\angle SMO$ является линейным углом данного двугранного угла. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

Искомый угол — это угол между боковым ребром (например, $SC$) и плоскостью основания $(ABCD)$. Этот угол равен углу между ребром $SC$ и его проекцией на плоскость основания. Так как $SO \perp (ABCD)$, проекцией $SC$ на плоскость $(ABCD)$ является отрезок $OC$. Следовательно, искомый угол — это $\angle SCO$. Обозначим его через $\beta$.

Для нахождения связи между углами $\alpha$ и $\beta$ введём параметр. Пусть сторона основания $AB = a$. Тогда $OM = \frac{a}{2}$. Диагональ основания $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$, а её половина $OC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (где $\angle SOM = 90^\circ$). Из него выразим высоту пирамиды $SO$:

$\tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} \implies SO = OM \cdot \tan(\alpha) = \frac{a}{2} \tan(\alpha)$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOC$ (где $\angle SOC = 90^\circ$). Из него выразим тангенс искомого угла $\beta$:

$\tan(\beta) = \frac{SO}{OC}$.

Подставим найденные выражения для $SO$ и $OC$:

$\tan(\beta) = \frac{\frac{a}{2} \tan(\alpha)}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{2}}$.

Таким образом, искомый угол $\beta$ равен $\arctan\left(\frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{2}}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{2}}\right)$