Номер 14, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 14, страница 167.

Условие.

18.14. Каждое ребро правильной треугольной пирамиды равно 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) складывается из площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$
В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник. По условию задачи, каждое ребро пирамиды равно 4 см. Это означает, что и стороны основания, и боковые ребра равны 4 см.
Следовательно, основание пирамиды — это равносторонний треугольник со стороной $a = 4$ см. Боковые грани также являются равносторонними треугольниками со стороной $a = 4$ см, так как все их стороны (два боковых ребра и одно ребро основания) равны 4 см.
Таким образом, полная поверхность данной пирамиды (которая является правильным тетраэдром) состоит из четырех одинаковых равносторонних треугольников.
Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$
Вычислим площадь одной грани (одного такого треугольника), подставив $a = 4$ см:
$S_{\triangle} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см²
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей четырех таких одинаковых треугольников:
$S_{полн} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см²

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².