Номер 15, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 15, страница 167.

Условие.

18.15. Основанием пирамиды $MABCD$ является параллелограмм $ABCD$, диагональ $BD$ которого равна 4 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, а боковое ребро $MA$ равно 8 см и образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Найдите ребро $MD$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть MABCD — данная пирамида. Основание ABCD — параллелограмм. Точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD. По условию, высота пирамиды проходит через точку O, следовательно, отрезок MO перпендикулярен плоскости основания (ABC).

Угол между боковым ребром (наклонной) MA и плоскостью основания (ABC) — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекцией ребра MA на плоскость (ABC) является отрезок AO. Следовательно, угол между MA и плоскостью основания — это угол $\angle MAO$. По условию, $\angle MAO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MOA$. Так как MO — высота пирамиды, то $MO \perp AO$, и, следовательно, $\triangle MOA$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MOA$. Нам известна гипотенуза $MA = 8$ см и острый угол $\angle MAO = 45^\circ$.

Из свойств прямоугольного треугольника, катеты MO (высота пирамиды) и AO (проекция ребра) можно найти следующим образом:
$MO = MA \cdot \sin(\angle MAO) = 8 \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
$AO = MA \cdot \cos(\angle MAO) = 8 \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
(Поскольку $\triangle MOA$ — равнобедренный, $MO = AO$).

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Значит, точка O является серединой диагонали BD. Длина диагонали $BD = 4$ см, следовательно, длина отрезка DO составляет:
$DO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MOD$. Он также является прямоугольным, так как высота пирамиды MO перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, проходящей через точку O, в том числе и прямой BD. Таким образом, $\angle MOD = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MOD$ нам известны длины катетов: $MO = 4\sqrt{2}$ см и $DO = 2$ см. Мы можем найти длину гипотенузы MD, которая является искомым ребром, по теореме Пифагора:
$MD^2 = MO^2 + DO^2$
$MD^2 = (4\sqrt{2})^2 + 2^2 = (16 \cdot 2) + 4 = 32 + 4 = 36$
$MD = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.