Номер 23, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 23, страница 168.

Условие.

18.23. Постройте сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через основание её высоты и параллельной скрещивающимся рёбрам пирамиды. Найдите периметр этого сечения, если сторона основания пирамиды равна 9 см, а боковое ребро равно 12 см.

Решение 1.

Решение 3.

Построение сечения и определение его вида

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник. Пусть $SO$ — высота пирамиды, тогда точка $O$ — центр треугольника $ABC$ (точка пересечения медиан, высот и биссектрис).

Секущая плоскость $\alpha$ по условию проходит через точку $O$ и параллельна двум скрещивающимся рёбрам. В качестве скрещивающихся рёбер выберем боковое ребро $SA$ и ребро основания $BC$. Таким образом, плоскость $\alpha$ должна удовлетворять условиям: $O \in \alpha$, $\alpha \parallel SA$ и $\alpha \parallel BC$.

Выполним построение сечения:

1. Найдём линию пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $(ABC)$. Так как плоскость $\alpha$ проходит через точку $O$ и параллельна прямой $BC$, лежащей в плоскости $(ABC)$, то их линия пересечения — это прямая, проходящая через $O$ параллельно $BC$. Проведём эту прямую до пересечения со сторонами $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Отрезок $MN$ является стороной искомого сечения.

2. Найдём линию пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью боковой грани $(SAB)$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна ребру $SA$, которое лежит в грани $(SAB)$, то линия их пересечения будет параллельна $SA$. Эта линия пройдёт через точку $M$, принадлежащую обеим плоскостям. Проведём в плоскости $(SAB)$ через точку $M$ прямую, параллельную $SA$. Пусть она пересечёт ребро $SB$ в точке $P$. Отрезок $MP$ — вторая сторона сечения.

3. Аналогично, найдём линию пересечения $\alpha$ с гранью $(SAC)$. Проведём в плоскости $(SAC)$ через точку $N$ прямую, параллельную $SA$. Пусть она пересечёт ребро $SC$ в точке $Q$. Отрезок $NQ$ — третья сторона сечения.

4. Соединим точки $P$ и $Q$, лежащие в плоскости грани $(SBC)$. Отрезок $PQ$ — четвёртая и последняя сторона сечения.

Искомое сечение — четырёхугольник $MNQP$. Определим его вид. По построению имеем $MP \parallel SA$ и $NQ \parallel SA$, откуда следует, что $MP \parallel NQ$.
Пусть $AK$ — медиана и высота в $\triangle ABC$. Так как $O$ — точка пересечения медиан, $AO:OK = 2:1$, или $AO = \frac{2}{3}AK$. Поскольку $MN \parallel BC$, из подобия $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ следует, что $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{AO}{AK} = \frac{2}{3}$.
В $\triangle SAB$ по построению $MP \parallel SA$, значит $\triangle BMP \sim \triangle BSA$. Отсюда $\frac{SP}{SB} = \frac{AM}{AB} = \frac{2}{3}$.
В $\triangle SAC$ по построению $NQ \parallel SA$, значит $\triangle CNQ \sim \triangle CSA$. Отсюда $\frac{SQ}{SC} = \frac{AN}{AC} = \frac{2}{3}$.
Теперь рассмотрим $\triangle SBC$. В нём $\frac{SP}{SB} = \frac{SQ}{SC} = \frac{2}{3}$. По теореме, обратной теореме Фалеса, $PQ \parallel BC$.
Так как $MN \parallel BC$ и $PQ \parallel BC$, то $MN \parallel PQ$.
В четырёхугольнике $MNQP$ противоположные стороны попарно параллельны ($MP \parallel NQ$ и $MN \parallel PQ$), следовательно, $MNQP$ — параллелограмм.

Нахождение периметра сечения

Периметр параллелограмма $MNQP$ равен $P = 2(MN + MP)$. Найдём длины его смежных сторон, используя данные задачи: сторона основания $a = 9$ см, боковое ребро $l = 12$ см.

1. Найдём длину стороны $MN$.
Из подобия треугольников $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$ с коэффициентом $\frac{AO}{AK} = \frac{2}{3}$ следует:
$MN = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.

2. Найдём длину стороны $MP$.
Из подобия треугольников $\triangle BMP$ и $\triangle BSA$ следует $\frac{MP}{SA} = \frac{BM}{BA}$.
Так как $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{3}$, то $AM = \frac{2}{3}AB$. Тогда $BM = AB - AM = AB - \frac{2}{3}AB = \frac{1}{3}AB$.
Коэффициент подобия $\frac{BM}{BA} = \frac{1}{3}$.
Следовательно, $MP = \frac{1}{3} SA = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см.

3. Вычислим периметр сечения.
$P = 2(MN + MP) = 2(6 + 4) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Ответ: Периметр сечения равен 20 см.