Номер 30, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 30, страница 168.

Условие.

18.30. Какого вида параллелограмм может быть основанием пирамиды, у которой боковые рёбра образуют равные углы с плоскостью основания?

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $ABCD$ — параллелограмм, лежащий в основании. Пусть $H$ — проекция вершины $S$ на плоскость основания. Тогда отрезок $SH$ является высотой пирамиды.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекциями боковых рёбер $SA$, $SB$, $SC$ и $SD$ являются отрезки $HA$, $HB$, $HC$ и $HD$. Соответствующие углы — это $\angle SAH$, $\angle SBH$, $\angle SCH$ и $\angle SDH$.

По условию задачи, все эти углы равны. Обозначим их величину через $\alpha$:

$\angle SAH = \angle SBH = \angle SCH = \angle SDH = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SHA$, $\triangle SHB$, $\triangle SHC$ и $\triangle SHD$. Они имеют общий катет $SH$. Из определения котангенса в прямоугольном треугольнике следует:

$HA = SH \cdot \cot(\alpha)$

$HB = SH \cdot \cot(\alpha)$

$HC = SH \cdot \cot(\alpha)$

$HD = SH \cdot \cot(\alpha)$

Так как правые части этих равенств одинаковы, то равны и левые:

$HA = HB = HC = HD$.

Это означает, что точка $H$ — основание высоты пирамиды — равноудалена от всех вершин параллелограмма $ABCD$. Следовательно, точка $H$ является центром окружности, описанной около параллелограмма $ABCD$.

Таким образом, условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда около параллелограмма, лежащего в основании, можно описать окружность.

Выясним, каким свойством должен обладать такой параллелограмм. Известно, что четырёхугольник можно вписать в окружность, если сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Для параллелограмма $ABCD$ это означает:

$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ и $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.

В то же время, по свойству параллелограмма, его противоположные углы равны:

$\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

Подставляя второе равенство в первое, получаем:

$2\angle A = 180^{\circ} \implies \angle A = 90^{\circ}$.

Так как $\angle A = \angle C$, то и $\angle C = 90^{\circ}$. Поскольку сумма соседних углов параллелограмма равна $180^{\circ}$, то $\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$, и, соответственно, $\angle D = 90^{\circ}$.

Параллелограмм, у которого все углы прямые, — это прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник.