Номер 29, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 29, страница 168.

Условие.

18.29. Высота правильной треугольной пирамиды равна 5 см, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Высота пирамиды $SO = H = 5$ см, где $O$ — центр основания (центр вписанной и описанной окружностей правильного треугольника $ABC$).

Двугранный угол при ребре основания — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Рассмотрим, например, ребро $AC$. Проведем апофему $SM$, где $M$ — середина ребра $AC$. Тогда $SM \perp AC$. Так как пирамида правильная, точка $O$ — проекция вершины $S$ на основание, а $OM$ — проекция наклонной $SM$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, $OM \perp AC$.

Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания $AC$. По условию, $\angle SMO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ ($\angle SOM = 90^\circ$). В нем катет $SO$ — это высота пирамиды $H$, а катет $OM$ — это радиус вписанной в основание окружности $r$. Апофема $h_a = SM$ является гипотенузой.

Так как $\angle SMO = 45^\circ$, то треугольник $\triangle SOM$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Следовательно, его катеты равны:$OM = SO = 5$ см.Таким образом, радиус вписанной в основание окружности $r = 5$ см.

Найдем апофему $h_a = SM$ по теореме Пифагора или из тригонометрических соотношений:$SM = \frac{SO}{\sin(45^\circ)} = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем сторону основания $a$. Радиус $r$ вписанной в правильный треугольник окружности связан со стороной $a$ формулой:$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ или $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.Из этой формулы выразим сторону $a$:$a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 5}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ см.

Периметр основания $P$ равен:$P = 3a = 3 \cdot 10\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$Подставим найденные значения периметра и апофемы:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 30\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2} = 15\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2} = 75\sqrt{6}$ см².

Ответ: $75\sqrt{6}$ см².