Номер 34, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 34, страница 169.

Условие.

18.34. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $3\sqrt{10}$ см, а основание — 6 см. Высота пирамиды равна 5 см, а её боковые рёбра равны. Найдите боковое ребро пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = AC = 3\sqrt{10}$ см и основанием $BC = 6$ см. Высота пирамиды $H = 5$ см.

По условию, все боковые ребра пирамиды равны. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника-основания. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а ее проекцию на основание как $O$. Тогда точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а отрезки $OA$, $OB$, $OC$ равны радиусу $R$ этой окружности.

Боковое ребро (например, $SA$), высота пирамиды $SO$ и радиус описанной окружности $OA$ образуют прямоугольный треугольник $SOA$. По теореме Пифагора, квадрат длины бокового ребра $L$ равен сумме квадратов высоты $H$ и радиуса $R$: $L^2 = H^2 + R^2$. Для нахождения $L$ необходимо сначала вычислить радиус $R$.

Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

1. Найдем площадь основания.
Проведем высоту $AM$ к основанию $BC$ в треугольнике $ABC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому $MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.Из прямоугольного треугольника $AMC$ по теореме Пифагора найдем высоту $AM$:
$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{(3\sqrt{10})^2 - 3^2} = \sqrt{90 - 9} = \sqrt{81} = 9$ см.
Площадь треугольника $ABC$ равна:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ см².

2. Найдем радиус описанной окружности.
Подставим известные значения в формулу для радиуса:
$R = \frac{AB \cdot AC \cdot BC}{4S} = \frac{3\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{10} \cdot 6}{4 \cdot 27} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 6}{108} = \frac{540}{108} = 5$ см.

3. Найдем боковое ребро пирамиды.
Теперь, зная высоту пирамиды $H = 5$ см и радиус описанной окружности $R = 5$ см, мы можем найти длину бокового ребра $L$ из прямоугольного треугольника $SOA$:
$L^2 = H^2 + R^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.
$L = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.