Номер 38, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 38, страница 169.

Условие.

18.38. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 4 см и 16 см, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть основанием пирамиды является равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, $AD = 16$ см, $BC = 4$ см. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $SO$ — её высота.

Поскольку все двугранные углы при рёбрах основания равны $60^\circ$, вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности (точку $O$). Это означает, что в трапецию $ABCD$ можно вписать окружность.

Для описанного четырёхугольника (в данном случае трапеции) суммы длин противоположных сторон равны. Обозначим боковую сторону $AB = CD = c$. Тогда: $AD + BC = AB + CD$ $16 + 4 = c + c$ $20 = 2c$ $c = 10$ см.

Найдём высоту трапеции $h_{тр}$. Проведём высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$. Так как трапеция равнобокая, $AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{16 - 4}{2} = 6$ см. Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора: $h_{тр} = BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны $\alpha$, можно найти по формуле $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\alpha}$, где $S_{осн}$ — площадь основания.

Сначала найдём площадь основания (трапеции $ABCD$): $S_{осн} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h_{тр} = \frac{16 + 4}{2} \cdot 8 = \frac{20}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ см².

Теперь вычислим площадь боковой поверхности, зная, что $\alpha = 60^\circ$: $S_{бок} = \frac{80}{\cos 60^\circ} = \frac{80}{1/2} = 160$ см².

Ответ: 160 см².

2) высоту пирамиды.

Высота пирамиды $SO$, радиус вписанной в основание окружности $r$ и апофема (высота боковой грани) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике угол между радиусом и апофемой равен двугранному углу при ребре основания, то есть $60^\circ$.

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине её высоты: $r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H = SO$ и радиусом вписанной окружности $r$, катет $H$ противолежит углу $60^\circ$. Следовательно: $\tan 60^\circ = \frac{H}{r}$ $H = r \cdot \tan 60^\circ = 4 \cdot \sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.