Номер 41, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 41, страница 169.

Условие.

18.41. Плоскости боковых граней $ABM$ и $CBM$ пирамиды $MABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если $AB = BC = 17 \text{ см}$, $AC = 16 \text{ см}$, $MB = 20 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

По условию, плоскости боковых граней $ABM$ и $CBM$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Плоскости $(ABM)$ и $(CBM)$ пересекаются по прямой $MB$. Следовательно, ребро $MB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$.

Это означает, что $MB$ является высотой пирамиды, а боковые грани $ABM$ и $CBM$ являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине $B$.

1. Найдём площадь основания $S_{осн}$

Основанием является равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC = 17$ см и $AC = 16$ см. Проведем в нем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:

$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь можем найти площадь основания:

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120$ см$^2$.

Ответ: Площадь основания равна 120 см$^2$.

2. Найдём площади боковых граней $S_{ABM}$, $S_{CBM}$ и $S_{ACM}$

Так как $MB \perp (ABC)$, то $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$. Треугольники $ABM$ и $CBM$ - прямоугольные.

$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 20 = 170$ см$^2$.

$S_{CBM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 20 = 170$ см$^2$.

Для нахождения площади грани $ACM$ найдем ее высоту (апофему) $MH$. Так как $MB \perp (ABC)$ и $BH$ является проекцией наклонной $MH$ на плоскость основания, то по теореме о трех перпендикулярах $MH \perp AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBH$ (угол $MBH = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$MH = \sqrt{MB^2 + BH^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $ACM$:

$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 25 = 8 \cdot 25 = 200$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{ABM} + S_{CBM} + S_{ACM} = 170 + 170 + 200 = 540$ см$^2$.

Ответ: Площадь боковой поверхности равна 540 см$^2$.

3. Найдём площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$

Сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 120 + 540 = 660$ см$^2$.

Ответ: 660 см$^2$.