Номер 47, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 47, страница 170.

Условие.

18.47. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $MABCD$ равна 8 см, а высота пирамиды – 12 см.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер $MA$ и $MD$ параллельно высоте пирамиды.

2) Найдите площадь сечения.

Решение 1.

Решение 3.

Дана правильная четырехугольная пирамида $MABCD$, в основании которой лежит квадрат $ABCD$. Сторона основания $AB = BC = CD = DA = 8$ см. Высота пирамиды $MO = 12$ см, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер $MA$ и $MD$ параллельно высоте пирамиды.

1. Обозначим середину ребра $MA$ как точку $P$, а середину ребра $MD$ как точку $Q$. Отрезок $PQ$ соединяет середины двух сторон треугольника $MAD$, следовательно, $PQ$ является его средней линией. По свойству средней линии, $PQ$ параллельна стороне $AD$ ($PQ \parallel AD$) и равна её половине ($PQ = \frac{1}{2}AD$).

2. Обозначим секущую плоскость как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точки $P$ и $Q$, а значит, содержит прямую $PQ$. Также по условию, плоскость $\alpha$ параллельна высоте пирамиды $MO$ ($\alpha \parallel MO$).

3. Так как $PQ \subset \alpha$ и $PQ \parallel AD$, а $AD \subset (ABC)$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $(ABC)$ будет прямой, параллельной $AD$ и $PQ$. Обозначим эту прямую $l$.

4. Высота пирамиды $MO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Поскольку секущая плоскость $\alpha$ параллельна $MO$, то плоскость $\alpha$ также перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

5. Для определения положения прямой $l$ в плоскости основания рассмотрим плоскость $(MKH)$, где $K$ и $H$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. Эта плоскость содержит высоту $MO$ и является плоскостью симметрии пирамиды.

6. Пусть $N$ — середина отрезка $PQ$. Так как $PQ$ — средняя линия треугольника $MAD$, а $MK$ — его медиана, то точка $N$ лежит на $MK$. Более того, поскольку $\triangle MPQ \sim \triangle MAD$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$, то медиана $MN$ треугольника $MPQ$ равна половине медианы $MK$ треугольника $MAD$. Следовательно, $N$ — середина $MK$.

7. Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $(MKH)$ по прямой, проходящей через точку $N$ параллельно $MO$. Обозначим эту прямую $NR$. Точка $R$ будет лежать на отрезке $OK$. В треугольнике $MOK$ отрезок $NR$ соединяет середину стороны $MK$ (точку $N$) с точкой $R$ на стороне $OK$, и $NR \parallel MO$. По теореме Фалеса, $R$ — середина отрезка $OK$, и $NR = \frac{1}{2}MO$.

8. Прямая пересечения $l$ секущей плоскости с основанием проходит через точку $R$ (середину $OK$) и параллельна $AD$. Пусть эта прямая пересекает рёбра основания $AB$ и $CD$ в точках $S$ и $T$ соответственно.

9. Таким образом, искомое сечение — это четырёхугольник $PQTS$. Так как $PQ \parallel ST$ (обе параллельны $AD$), то $PQTS$ — трапеция. В силу симметрии пирамиды относительно плоскости $(MKH)$, трапеция является равнобокой ($PS=QT$).

Ответ: Сечением является равнобокая трапеция $PQTS$, где $P$ и $Q$ — середины рёбер $MA$ и $MD$, а основание $ST$ лежит в плоскости основания пирамиды, проходит через середину отрезка $OK$ (где $O$ — центр основания, $K$ — середина $AD$) и параллельно $AD$.

2) Найдите площадь сечения.

Площадь трапеции $PQTS$ вычисляется по формуле: $S = \frac{PQ + ST}{2} \cdot h$, где $PQ$ и $ST$ — основания, а $h$ — высота трапеции.

1. Найдём длину верхнего основания $PQ$.
$PQ$ — средняя линия треугольника $MAD$. Сторона основания $AD = 8$ см. $PQ = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

2. Найдём высоту трапеции $h$.
Высотой трапеции является отрезок $NR$, построенный в пункте 1. Мы установили, что $NR = \frac{1}{2}MO$. Высота пирамиды $MO = 12$ см. $h = NR = \frac{1}{2}MO = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

3. Найдём длину нижнего основания $ST$.
Основание $ST$ проходит через точку $R$ — середину отрезка $OK$ — параллельно стороне $AD$. В квадрате $ABCD$ отрезок $OK$ соединяет центр квадрата с серединой стороны $AD$, поэтому $OK \perp AD$ и его длина равна половине стороны квадрата, перпендикулярной $AD$. То есть, $OK = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см. Так как $R$ — середина $OK$, то расстояние от центра квадрата $O$ до прямой $ST$ равно $OR = \frac{1}{2}OK = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см. Прямая $ST$ параллельна сторонам $AD$ и $BC$ и соединяет стороны $AB$ и $CD$. Расстояние между сторонами $AB$ и $CD$ равно 8 см. Поскольку прямая $ST$ соединяет эти стороны, её длина равна этому расстоянию. $ST = 8$ см.

4. Вычислим площадь сечения.
Подставим найденные значения в формулу площади трапеции: $S_{PQTS} = \frac{PQ + ST}{2} \cdot h = \frac{4 + 8}{2} \cdot 6 = \frac{12}{2} \cdot 6 = 6 \cdot 6 = 36$ см².

Ответ: $36$ см².