Номер 49, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 49, страница 170.

Условие.

18.49. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 2 см и 18 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны, а высота одной из боковых граней, проведённая к ребру основания пирамиды, – 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть в основании пирамиды лежит равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, $AD = 18$ см, $BC = 2$ см.

В условии сказано, что двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны. Это важное свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания. Таким образом, в нашу равнобокую трапецию можно вписать окружность.

Для того чтобы в четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны. Для нашей трапеции это условие выглядит так: $AD + BC = AB + CD$

Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны: $AB = CD$. Подставим известные значения и найдём длину боковой стороны: $18 + 2 = AB + AB$ $20 = 2 \cdot AB$ $AB = CD = 10$ см.

Теперь мы можем найти периметр основания пирамиды (трапеции): $P_{осн} = AD + BC + AB + CD = 18 + 2 + 10 + 10 = 40$ см.

Высота боковой грани, проведённая к ребру основания пирамиды, называется апофемой. Обозначим её $h_s$. По условию, $h_s = 9$ см. Так как все двугранные углы при основании равны, то высоты всех боковых граней (апофемы) также равны между собой.

Площадь боковой поверхности такой пирамиды можно найти по формуле, связывающей периметр основания и апофему: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_s$

Подставим найденные и данные значения в формулу: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 40 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 20 \cdot 9 = 180$ см².

Ответ: 180 см².