Номер 55, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 55, страница 171.

Условие.

18.55. Каждое ребро тетраэдра равно 1 см. Найдите наибольшее значение площади сечения данного тетраэдра плоскостью, параллельной двум его скрещивающимся рёбрам.

Решение 1.

Решение 3.

Решение:

Пусть дан правильный тетраэдр $ABCD$ с длиной ребра $a = 1$ см. Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$, параллельной двум скрещивающимся рёбрам. В силу симметрии правильного тетраэдра, выбор пары скрещивающихся рёбер не влияет на результат. Выберем рёбра $AB$ и $CD$.

Пусть секущая плоскость $\alpha$ пересекает рёбра тетраэдра $AC$, $AD$, $BC$ и $BD$ в точках $K$, $N$, $L$ и $M$ соответственно.

Так как плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$, то линия её пересечения с гранью $ABC$, отрезок $KL$, параллелен $AB$. Аналогично, линия пересечения с гранью $ABD$, отрезок $NM$, также параллелен $AB$. Следовательно, $KL \parallel NM$.

Так как плоскость $\alpha$ параллельна ребру $CD$, то линия её пересечения с гранью $ACD$, отрезок $KN$, параллелен $CD$. Аналогично, линия пересечения с гранью $BCD$, отрезок $LM$, также параллелен $CD$. Следовательно, $KN \parallel LM$.

Поскольку у четырёхугольника $KLMN$ противолежащие стороны попарно параллельны, то он является параллелограммом.

Найдём длины сторон этого параллелограмма. Введём параметр $k$, который определяет положение плоскости. Пусть точка $K$ делит ребро $AC$ в отношении $AK/AC = k$, где $k \in (0, 1)$.

Рассмотрим грань $ACD$. Треугольник $AKN$ подобен треугольнику $ACD$, так как $KN \parallel CD$. Из подобия следует:

$\frac{KN}{CD} = \frac{AK}{AC} = k$

Поскольку $CD = a = 1$, получаем $KN = k \cdot 1 = k$.

Рассмотрим грань $ABC$. Треугольник $CKL$ подобен треугольнику $CAB$, так как $KL \parallel AB$. Из подобия следует:

$\frac{KL}{AB} = \frac{CK}{CA} = \frac{CA - AK}{CA} = 1 - \frac{AK}{CA} = 1-k$

Поскольку $AB = a = 1$, получаем $KL = (1-k) \cdot 1 = 1-k$.

Таким образом, стороны параллелограмма равны $k$ и $1-k$.

Площадь параллелограмма $S$ равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними: $S = KL \cdot KN \cdot \sin\varphi$, где $\varphi$ — угол между прямыми $KL$ и $KN$.

Так как $KL \parallel AB$ и $KN \parallel CD$, то угол $\varphi$ равен углу между скрещивающимися рёбрами $AB$ и $CD$. В правильном тетраэдре скрещивающиеся рёбра взаимно перпендикулярны, то есть угол между ними равен $90^\circ$.

Следовательно, сечение $KLMN$ является прямоугольником, и его площадь $S(k)$ как функция от $k$ выражается формулой:

$S(k) = KL \cdot KN = k(1-k) = -k^2 + k$

Нам нужно найти наибольшее значение этой функции на интервале $k \in (0, 1)$. Графиком функции $S(k)$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Её максимум достигается в вершине. Абсцисса вершины параболы $k_0$ находится по формуле $k_0 = -\frac{b}{2a}$:

$k_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2}$

Это значение $k=1/2$ соответствует случаю, когда плоскость проходит через середины рёбер $AC$, $AD$, $BC$ и $BD$, а сечением является квадрат.

Вычислим максимальное значение площади, подставив $k=1/2$ в формулу:

$S_{max} = S\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Наибольшее значение площади сечения равно $1/4$ см$^2$.

Ответ: $\frac{1}{4}$ см$^2$.