Номер 54, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 54, страница 171.

Условие.

18.54. Основанием пирамиды $MABC$ является треугольник $ABC$, такой, что $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle BAC = 60^\circ$, $AC = 4\sqrt{3}$ см. Плоскость грани $BMC$ перпендикулярна плоскости основания, а плоскости двух других граней наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите ребро $MC$.

Решение 1.

Решение 3.

1. Анализ основания пирамиды.
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Нам даны $\angle BAC = 60^\circ$ и катет $AC = 4\sqrt{3}$ см. Найдем второй катет $BC$ из соотношения тангенсов: $\tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AC}$ $BC = AC \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

2. Определение положения высоты пирамиды.
По условию, плоскость грани $BMC$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Это означает, что высота пирамиды, опущенная из вершины $M$ на плоскость основания, будет лежать в плоскости $BMC$. Обозначим эту высоту как $MH$. Тогда точка $H$ (основание высоты) лежит на линии пересечения этих плоскостей, то есть на ребре $BC$. Таким образом, $MH \perp (ABC)$ и $H \in BC$.

3. Использование углов наклона боковых граней.
Угол наклона боковой грани к плоскости основания — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Он измеряется как угол между перпендикулярами, проведенными к общей линии пересечения граней.

а) Угол наклона грани $AMC$.
Линия пересечения плоскостей $(AMC)$ и $(ABC)$ — это прямая $AC$. Так как $H \in BC$ и $BC \perp AC$ (по условию $\angle ACB = 90^\circ$), то отрезок $HC$ является перпендикуляром, опущенным из точки $H$ на прямую $AC$. $MH$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $MC$ — наклонная. $HC$ — проекция наклонной $MC$ на плоскость $(ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $HC$ перпендикулярна $AC$, то и наклонная $MC$ перпендикулярна $AC$. Следовательно, угол $\angle MCH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(AMC)$ и $(ABC)$. По условию, этот угол равен $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle MCH$ (где $\angle MHC = 90^\circ$): $\tan(\angle MCH) = \frac{MH}{HC} \Rightarrow MH = HC \cdot \tan(30^\circ) = \frac{HC}{\sqrt{3}}$.

б) Угол наклона грани $AMB$.
Линия пересечения плоскостей $(AMB)$ и $(ABC)$ — это прямая $AB$. Проведем из точки $H$ перпендикуляр $HL$ к прямой $AB$ ($L \in AB$). По теореме о трех перпендикулярах, так как $HL \perp AB$, то и наклонная $ML \perp AB$. Следовательно, угол $\angle MLH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(AMB)$ и $(ABC)$. По условию, этот угол также равен $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle MLH$ (где $\angle MHL = 90^\circ$): $\tan(\angle MLH) = \frac{MH}{HL} \Rightarrow MH = HL \cdot \tan(30^\circ) = \frac{HL}{\sqrt{3}}$.

4. Нахождение длины отрезка $HC$.
Из двух полученных выражений для высоты $MH$ следует, что $HC = HL$. Точка $H$ на отрезке $BC$ равноудалена от сторон угла $\angle BAC$ (неверно, от сторон угла $\angle ABC$). Давайте рассмотрим треугольник $BHL$. $HL$ — это расстояние от точки $H$ до прямой $AB$. $HC$ — это расстояние от точки $H$ до прямой $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHL$. Угол $\angle HBL = \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. В этом треугольнике $HL = BH \cdot \sin(\angle HBL) = BH \cdot \sin(30^\circ) = \frac{BH}{2}$. Точка $H$ лежит на отрезке $BC$, поэтому $BH = BC - HC$. Подставим это в предыдущее уравнение: $HL = \frac{BC - HC}{2}$. Так как мы установили, что $HC = HL$, получаем: $HC = \frac{BC - HC}{2}$ $2 \cdot HC = BC - HC$ $3 \cdot HC = BC$ $HC = \frac{BC}{3} = \frac{12}{3} = 4$ см.

5. Нахождение ребра $MC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MCH$. Нам известны катет $HC=4$ см и угол $\angle MCH = 30^\circ$. Искомое ребро $MC$ является гипотенузой этого треугольника. $\cos(\angle MCH) = \frac{HC}{MC}$ $MC = \frac{HC}{\cos(30^\circ)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $MC = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.