Номер 59, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 59, страница 171.

Условие.

18.59. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25 \text{ см}$, $AC = 14 \text{ см}$. К окружности, вписанной в данный треугольник, проведена касательная, параллельная основанию $AC$ и пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите площадь треугольника $MBK$.

Рис. 19.1

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB = BC = 25$ см), высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, является также медианой.

1. Найдем высоту и площадь треугольника ABC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Поскольку $BH$ — медиана, то $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.
По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ см.
Теперь найдем площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 168$ см$^2$.

2. Найдем коэффициент подобия треугольников MBK и ABC.
По условию, касательная $MK$ параллельна основанию $AC$. Следовательно, треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle B$ — общий, $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные углы при $MK || AC$ и секущей $AB$).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:
$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = k^2$.
Коэффициент подобия можно найти как отношение высот. Пусть $BH_1$ — высота треугольника $MBK$, проведенная из вершины $B$. Тогда $k = \frac{BH_1}{BH}$.
Прямая $MK$ является касательной к вписанной окружности и параллельна стороне $AC$, к которой проведена высота $BH$. Расстояние между параллельными прямыми $MK$ и $AC$ равно диаметру вписанной окружности, то есть $2r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
Высота $BH_1$ равна разности высоты $BH$ и диаметра вписанной окружности:
$BH_1 = BH - 2r$.
Найдем радиус вписанной окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{25 + 25 + 14}{2} = \frac{64}{2} = 32$ см.
$r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{168}{32} = \frac{21}{4}$ см.
Теперь найдем высоту $BH_1$:
$BH_1 = 24 - 2 \cdot \frac{21}{4} = 24 - \frac{21}{2} = \frac{48 - 21}{2} = \frac{27}{2}$ см.
Найдем коэффициент подобия $k$:
$k = \frac{BH_1}{BH} = \frac{27/2}{24} = \frac{27}{2 \cdot 24} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$.

3. Найдем площадь треугольника MBK.
Теперь, зная коэффициент подобия и площадь треугольника $ABC$, найдем площадь треугольника $MBK$:
$S_{MBK} = S_{ABC} \cdot k^2 = 168 \cdot \left(\frac{9}{16}\right)^2 = 168 \cdot \frac{81}{256}$.
Сократим дробь. $168 = 32 \cdot 5.25$, а $256 = 32 \cdot 8$.
$S_{MBK} = \frac{168 \cdot 81}{256} = \frac{(21 \cdot 8) \cdot 81}{32 \cdot 8} = \frac{21 \cdot 81}{32} = \frac{1701}{32}$ см$^2$.
Переведем в десятичную дробь: $1701 \div 32 = 53.15625$ см$^2$.

Ответ: $\frac{1701}{32}$ см$^2$ (или $53,15625$ см$^2$).