Номер 56, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 56, страница 171.

Условие.

18.56. Существует ли четырёхугольная пирамида, две несоседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания?

Решение 1.

Решение 3.

Да, такая пирамида существует. Докажем это рассуждением от противного и приведем конструктивный пример.

Пусть $SABCD$ — четырёхугольная пирамида, у которой основание $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. Пусть две её несоседние боковые грани, например, грань $(SAB)$ и грань $(SCD)$, перпендикулярны плоскости основания $\alpha$.

Воспользуемся известной теоремой стереометрии: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.

Плоскости боковых граней $(SAB)$ и $(SCD)$ имеют общую точку — вершину пирамиды $S$, следовательно, они пересекаются. Пусть их линия пересечения — прямая $l$. Согласно приведённой теореме, так как $(SAB) \perp \alpha$ и $(SCD) \perp \alpha$, то их линия пересечения $l$ должна быть перпендикулярна плоскости $\alpha$, то есть $l \perp \alpha$.

Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения прямых $AB$ и $CD$, на которых лежат стороны основания.

Случай 1: Прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).
В этом случае основание $ABCD$ является трапецией или параллелограммом. Линия пересечения $l$ плоскостей $(SAB)$ и $(SCD)$ проходит через точку $S$ и параллельна прямым $AB$ и $CD$ (по свойству пересечения двух плоскостей третьей параллельной им плоскостью). Таким образом, $l \parallel AB$.Мы получили, что $l \perp \alpha$ и одновременно $l \parallel AB$. Это означает, что прямая $AB$, лежащая в плоскости $\alpha$, параллельна перпендикуляру к этой плоскости. Такое невозможно. Следовательно, данный случай невозможен.

Случай 2: Прямые $AB$ и $CD$ не параллельны.
Поскольку прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости $\alpha$ и не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке $P$. Точка $P$ принадлежит обеим прямым, $AB$ и $CD$. Так как плоскость $(SAB)$ содержит прямую $AB$, а плоскость $(SCD)$ содержит прямую $CD$, то точка $P$ принадлежит обеим плоскостям. Вершина $S$ также принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, линия пересечения этих плоскостей — прямая $SP$.Таким образом, $l = SP$.Из нашего первоначального вывода следует, что $SP \perp \alpha$. Это означает, что высота пирамиды, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания, попадает в точку $P$ — точку пересечения прямых, содержащих несоседние стороны основания $AB$ и $CD$.

Такая конфигурация возможна, и мы можем построить пример такой пирамиды:

1. В плоскости $\alpha$ построим четырёхугольник $ABCD$, у которого прямые, содержащие стороны $AB$ и $CD$, пересекаются в точке $P$. Например, в качестве основания можно взять любую трапецию, где $BC$ и $AD$ — основания, а $AB$ и $CD$ — непараллельные боковые стороны.
2. В точке $P$ проведём прямую $m$, перпендикулярную плоскости $\alpha$.
3. На прямой $m$ выберем любую точку $S$, не совпадающую с $P$.
4. Соединим точку $S$ с вершинами $A, B, C, D$.

Пирамида $SABCD$ является искомой. Проверим это:

• Плоскость грани $(SAB)$ содержит прямую $SP$, так как точки $S$ и $P$ (лежащая на продолжении $AB$) принадлежат этой плоскости. По построению $SP \perp \alpha$. Следовательно, по признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость $(SAB)$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
• Аналогично, плоскость грани $(SCD)$ содержит прямую $SP$ (так как $S$ и $P$ лежат в этой плоскости). Поскольку $SP \perp \alpha$, то плоскость $(SCD)$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Мы построили четырёхугольную пирамиду, у которой две несоседние боковые грани $(SAB)$ и $(SCD)$ перпендикулярны плоскости основания.

Ответ: да, существует.