Номер 58, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Пирамида. Глава 4. Многогранники - номер 58, страница 171.

Условие.

18.58. Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$. Найдите отношение площадей треугольников $BOC$ и $AOD$, если $BC = 3 \text{ см}$, $AD = 9 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD$.

Поскольку $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC$ и $AD$, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Сравним углы треугольников $BOC$ и $AOD$:

1. $\angle BOC = \angle AOD$ (как вертикальные углы).
2. $\angle CBO = \angle ADO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).
3. $\angle BCO = \angle DAO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$).

Так как все три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого, то треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны ($\triangle BOC \sim \triangle AOD$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответственных сторон:

$ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = (\frac{BC}{AD})^2 $

Подставим известные значения длин оснований $BC = 3$ см и $AD = 9$ см:

$ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = (\frac{3}{9})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} $

Ответ: $1:9$ или $\frac{1}{9}$.